En désignant par

OBC=/, OCA=/., OAB=/,

les faces d'un angle solide d'un tétraèdre^ et par sinon l^' sinus de l'angle solide polaire de celui du tétraèdre, tel que les arêtes du premier soient les normales, prolongées extérieurement, aux faces du second, on a

(0ABC)» = -/^./,5in„.. (♦).

Démonstration. — Désignons OA, OB, OC par /*, /',, r,,. et rr, cosrrj par ^oi = «lo^ etc. On a (§ XVI, 4, et s XVII, 7).

ûio ûn «12

(*) Bretschneider, GeowM?//-i>, (.^-p. Cette éqii.ition ne diiïèrc pas essentiellement de celle de Lagrange {Sur les pjr ^ 17), et est ici démontrée d'une manière semblable ù celle que Lagrnnge a employée.

2o8 SECONDE PAETIE , § XYIl.

Soit de plus ocqo 1^ coefficient de aoo dans ce déterminant, elc , . . . , on a (§ VII, 1 )

Or on a (3)

»!• *ll *l»

Oliê «ai «52

=4A = 4//; cos,,.

en désignant par cosoi le cosinus de Tangle que forment les normales élevées extérieurement aux surfaces 06C et OC A. Delà résulte

I cos», COS«2

^tx

Oxt

«mT

ÛJ2

Oi.

(60ABC)« = 4V'/;/î

ces», I • ces,,

COSo2 COSi2 I

d'où s'ensuit, d'après le § XVI, 2, la démonstration de la proposition énoncée.

Remarque. — On déduit delà même manière du§ XVn,7, Téquation

lu lu 731

( 36 AAi As A3. 66,6363)'=: 7,2 732 732 ,

7ii 7ti9 • • • 9 étant les coefficients de Cn, Cn, . . . , dans le déterminant des éléments C|iy*..,C9s, et désignant des produits de surfaces de l'espèce considérée au n^ 3.

16. Lagrange (5ttr les pyr,^ i^î) a remarqué que, pour la quatrième face ABC du tétraèdre, on a, d'après les notations adoptées au n^ 15, l'équation

4(A6C)' = aoo-4- a,,4-aa2 4- 2a„ +2 a,, -h 2a2o,

OU bien

(ABC)^ ==/» -+- /î-h/î-h 2//COS,, 4- 2/,/, ces,, 4- 2/,/cos,o.

Cette équation s'obtient de la manière la plus simple, en la considérant comme la corrélative polaire de Téquation létragonométrique {voir § XVI, 4, et § XVIII, 2, corollaire)

r* = x' -h J* -+- ^* -+" a a:jr cosxj 4- ^jrz cosyz -H 2 «.r ces zx.

ATaidedes formules trouvées pour (2 ABC)* et (60ABC)*, Lagrange (Sur les pyr., 17) a entrepris la résolution du problème qui consiste à déterminer le tétraèdre de volume maximum ou minimum, parmi ceux dont les faces ont les ai res données jtfufitfh- A cause de

«00 4- «Il 4-a«-|-2aoi 4- 2a„ 4- 2aa, = 4/î,

la quatrième puissance du sextuple du volume du tétraèdre, savoir (15),

«00 «01 «OJ «01 «Il «u «oa «12 «aj

sera une fonction de variables aoi, <Xot, «it, dont la somme s* a une valeur donnée. Les conditions pour que h obtienne une valeur maximum ou minimum sont, comme on sait,

du dv du, dv du dv

doL^i rfooi ' dctoi ^«oa ^«12 dota

IL désignant une nouvelle variable, qu'il s'agit d'éliminer entre ces équations. Qr - — — est le coefficient de «4),

dans u (§ III, 9), et a pour valeur Raoi (§ Vil, 3), eu

posant (t5)

tfof floi ^02

«•I Û|| «la 002 flia «îî

De plus 9 on a -^ = i y clc .... ; par conséquent le tétraèdre

cherché doit satisfaire aux conditions a^ = a^^ = ^i*» c'està-dire

rr , cos TTi z=. rr^ cos rr^ = r , r j ces r, r, .

En posant la valeur commune de ces produits d'arêtes := v^, il vient

/^rj r} = (Ô -h «m) (Ô -h a„)(e -h a„),

pour le calcul de r, ri, r, au moyen des quantités données et de la quantité d, qui reste encore à déterminer. Or on a, dans le cas actuel,

«0. -h a„ -f. «,. = 3e — (r^ -+- r; -h r\) yjl

= là quantité constante («oo + «ii -H «u — 4fl)y qtie

nous désignerons, pour abréger, par — c. On lire de là