f- «n 9 -f-ajî
= 39' + 29(c — 4/J)-f-<?% 9 (9 -f- a..)' (9 -f- a„)»-h9(9 4- a22)'(9 + aoo)' -f- 9 (9 + a«.)» (9 -|- a„)^ = [39^4.29(r — 4/l)-|-c»]{9-t-ao.)(9 + a..)(9-ha„),
équation dû quatrième degré pour le calcul de la quantité auxiliaire 6 au moyen des quantités données. Cette équation
APPLICATIONS DKS DÉTERMINANTS. 311
a toujours une racine réelle positive, puisque le coefficient de 6*: dans le premier membre, et le terme connu, dans le second niembre, sont de même signe.
11 reste encore à désirer une dise de celle équation, ainsi que l'éU métriques des tétraèdres qui ont un des valeurs données des aires de le
§ XVni. — Relations poly poiyédrométrù
i. Soient AB = «,,BC = a,,..., MN = «„,, NA = <j„ les côtés d'un polygone donné quelconque, et C0Sp, le cosinus de l'angle que la droite sur laquelle est pris le i"'"' côté du polygone fait avec une droite donnée quelconque. On a
En effet, si l'on désigne par A, , Bj , . . . les projections orthogonales de A, B,. . . sur la droite donnée, on a
. A, B, + B, C, + . . . + M, N, + S, A, = o, en supposant A, B, ^ — B, Aj, etc. On a
A,B, = ABeos,.,, de quelque manière qu'on ait choisi la direction des segments positifs sur les droites dont AB et A, B, sont des segments, parce que, en changeant une direction en son opposée, il y a deux des quantités AB, A| B, , cos^^, qui changent de signe. En substituant les valeurs de A, B, , B,C,,..., on obtient l'équation fondamentale de la polygonométrie que nous venons de poser.
(■ ) Lcimu., iVov. Comm, l'riivp., 19, p. 187. — t'Hni.itr, Paiygonamé-
212 SECOMÙE PARTIE, § XVIIi.
Réciproquement, si ai , a,,. . ., a„ désignent des segments de direction donnée, et cos^,, le cosinus de Tanglc que fait la.droite sur laquelle est pris le i'''^ segment avec une droite quelconque \ si la somme
«âCos^,, -+- ajcos^,,-!-. . . -h «„cos^.„
s évanouit, de quelque manière que Ton choisisse la droite arbitraire; on obtient un polygone fermé lorsque, sans changer la direction des segments, on fait coïncider le commencement du second avec la fin du premier, le commencement du troisième avec la fin du second, etc ; car, dans le cas où la fin du dernier segment ne coïnciderait pas avec le commencement du premier, la somme
ûi cos^,, -î- a, 008^,, H- . . . -4- «„ cos^,„
ne serait pas nulle en général, ce qui serait contraire à Thypothèse.
%. Si les périmètres des faces d'un polyèdre quelconque sont tels, que toutes les faces, vues de dehors, soient de même sens; si, déplus, après avoir fixé dans chacun des plans le sens des angles et des surfaces positifs, on pose les faces du polyèdre = ai , cX] ) • • - 9 °^n^ ^î enfin cos^^- est le cosinus de Tangle que le plan sur lequel est située la face ai fait avec un plan pris arbitrairement; on a
«1 COS^,, -h «a COS^,, -h ... 4- a«COS^,„ = O (*).
Démonstration^ — Considérons, d'après ce qui a été dit dans le corollaire II du § XVII, 14, le polyèdre comme décomposé en tétraèdres : soient ABCD l'un d'eux et Ai Bi Ci D| sa projection sur le plan arbitraire. On a (§ XVI, 5)
(*) VHmiAtA, Théorèmes de P oly êdr orné trie j 1799 ( Mémoires présentés à riustitut, t. \, i8o5, p. 264). — CARNOiip/oc. cit.
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. ai3
et par suite
ABC cosp^h -+- CBD coSp,i -h BAD cos^,* -h ACD coSpj = o,
hy I, k^ l étant les indices relatifs aux plans des triangles projetés. Il existera des équations analogues pour les autres tétraèdres qui composent le polyèdre. En faisant la somme de toutes ces équations, on trouve
«1 cos^,, H- a, cos^,j -f- . . . 4- a„ cos^,„ = o ,
parce que chacun des triangles qui n'appartiennent pas à la surface du polyèdre appartient aux surfaces de deux tétraèdres, comme positif pour Tun et comme négatif pour l'autre, de telle sorte qu'il disparait de la somme. Si, par exemple, le polyèdre est la somme des tétraèdres ABCD et ADCE, la surface de ABCD sera formée de
