ABC, ACD, CBD, BAD

et celle de ADCE de

ADC, ACE, CDE, DAË,

et Ton voit que les faces ACD et ADC, situées sur le plan diagonal, sont égales et de signes contraires.

Corollaire. — Si l'on élève sur les faces du polyèdre les perpendiculaires ^1,^1,..., a„, dirigées extérieurement, et proportionnelles aux aires des faces auxquelles elles sont respectivement perpendiculaires, on a aussi, en vertu de l'équation que nous venons de démontrer,

où l'on peut entendre maintenant par cos^^, le cosinus de l'angle que la droite sur laquelle est comptée la distance a^ fait avec la normale à un plan donné arbitrairement, c'est-à-dire avec une droite quelconque. On obtient par

2l4 SECONDE PARTIE, § XVIIl.

conséquent (1) un polygone fermé, lorsque, sans changer la direction des segments ^i , n, , . . . , a„, on fait coïncider le commencement du second avec la fin du premier, le commencement du troisième avec la fin du second, etc. Les angles des côtés de ce polygone sont égaux aux angles des faces du polyèdre, de sorte que à toute relation polygonométrique correspond une relation polyédrométrique.

3. Si les droites (plans) répondant aux divers indices sont parallèles aux côtés (faces) d'un polygone (polyèdre) quelconque, on aura

cos,,, cos,,, . .. cos,.„

ces,,, COS2,2 . . C0S2.„

ros„,, cos„,2 . . . cos„.rt

en même ten^ps que cos,,, = i , cos,^i = cos*^, .

Démonstration, — De Téquation démontrée ci-dessus résulte le système d'équations linéaires

a, CCS,,, -4- tfa cos,,2 -h ... H- fl,cas,,„ =r o,

û, cps„., -H«2 cos„,., -h . . -+- tf„cos,,„ = o. ■

La résultante de ce système linéaire (§ IX, 3) est précisément l'équation qu'il s'agissait de démontrer.

Puisque troi$ droites x, y^ /', parallèles à un même plan, sont aussi parallèles aux côtés d'un certain triangle, on a, comme on sait.

I CCS xr co^jrr

ces xr I cos xy

cos yr c*c)S xy i

Etant données quatre droites (plans) quelconques x,j^, 2, r, on peut construire un quadrilatère (tétraèdre), dont

APPLICATIONS DES DÉTERMINAMTS. al 5

les côtés (faces) soient parallèles aux droites (plans). On a par conséquent \

(II

cesxr

ces yr

cos zr

cosxr

ces j:/

cosxz

cosyr

cosxy

cos ^2

ces zr

ces xz

cas yz

Cette équation, que Ton peut développer d'après le §V, 2, fait connaître la liaison qui existe entre les cosinus des angles formés par quatre droites (plans), entre les côtés et les diagonales d'un quadrilatère sphérîque, entre les angles dièdres d'un tétraèdre.

Si, en particulier, x, j , ^, r désignent les directions des arêtes AB, AC, AD, et du rayon AE de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD, en faisant AB = i, AC = c, AD = d^ AE = e, on a

I : cos xr : cos yr : cos zr : = ne : b : <: : d, et par suite (§ III, 2)

(III

cosxy

cosxz

cosxy

cosyz

cosxz

cosyz

formule qui sert à calculer le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre en fonction des arêtes d'un angle solide et des angles que ces arêtes font entre elles. Si au contraire E désigne un cinquième point quelconque de l'espace, on

C* ) Carnot, Géom. de pos., 35o .

(*'*) \jV.GEViiR^, Éléments de Géométrie, Note V. Celte équation ne diffère pas essentiellement de Téquation donnée par Lagrange (Sri; les pyr ,, i\ ).

ai6 SECONDE- PARTIE, § XVIII.

a, diaprés les notations précédentes (§ III, 2),

e^ be ces xr ce ces yr de cos zr

be cos xr b^ bc cos ry bd cos xz

ce cos j^r bc cos xy c* crf cos ^s

^ cos sr bd cos xz cdcosyz d*