IV

En exprimant le produit de segments be cos xr au moyen des carrés des côtés du triangle ABE, et de même pour les autres, on obtient l'équation entre les carrés des distances mutuelles de cinq points de Tespace. Cette équation est du second degré par rapport au carré de chaque distance, ce qui s'accorde avec la construction au moyen de laquelle on trouve une des distances, connaissant les autres (*),

i. Du système d'équations linéaires ( I )

«, COS^,, -+- ûi COSp,, -h ... -h «n COSp,„ =r O, tff COSj,, H- a, COSj., -+-... -h «« COS2,„ = O,

«1 COS„,, -h fl, COS*., H- . . . -f- «,. COS„,„ = O,

résulte Téquation plus générale

COSp,, COS^,2 . . . cos^.H

cos,j cos,,, . . . cos,,„ cos„., cos„,, . . . cos„,„

qui exprimo la dépendance entre les angles formés par n -h i droites (plans) lorsque n de ces droites (plans) sont parallèles aux côtés (faces) d'un polygone (polyèdre) de n côtés (faces).

{*) Carnot, Céom» de pas. y 359. Mémoire sur la relation ifui existe, etc., 56. Cette équation ne diH'èic que par la (orme de Téqualion donnée par Lagrange {Sur tes pjr.y 19).

APt^LlCÂTIONS DES DÉTERMINANTS. 21 7

Dans la théorie analytique de la ligne droite, on fait usage principalement des cas particuliers suivants :

CCS rs ces xs ces jrs CCS xr I ces xy

cosjrr cos xy i

cosr^ coso:^ cosys cos^^

cosxr I cos xjr cosxz

cos fr cositx ^ cosyz

cos zr cosxz cos 72; i

pour la détermination de Tangle de deux droites au moyen des angles que ces* droites forment avec les axes coordonnés.

5. Du système d'équations linéaires enaployé au n° 3 on peut déduire les rapports des côtés d'un polygone (ou des faces d'un polyèdre). D'après le § IX, 3 , en ayant égard au § VII, 5, on trouve

^1 : «2 : «3 : • . . = v^Pi,i : /pT»/ \/p3,3 : . • . ,

^i^i étant le coefficient de cos,,, dans le déterminant

coSi,t cos, ,2 . . . cos,, à

COSj,i COS2,2 . • • COSj,»

COS„,, COSfl,2 . • . cos„,„

Pour » = 3, jSi,! se réduit à sin^ 3, ^5,2 à sinj 3, ^3,3 à sin* , , ce qui s'accorde avec la proposition connue sur les rapports des côtés d'un triangle.

Si w^3, et que le polygone soit plan, alors j3i,i, (^Sjâî . • • ? ^n,n s'annulent (3), parce que n — i droites dans un plan forment un polygone de n — i côtés. Les rapports

(*) Magnus^ Anal. Gconi. des IXaumes, ^ IX, (7). — Voir an Mémoire dt-^ l'auteur, Journal de Crelle, t. Xl.VÏ, p. l'i.i. ^

2l8 SECONDE PARTIE, § XVIII.

des cotés d'un polygone plan sont donc en général des fonctions indéterminées des angles formés par les cètés.

Si /î = 4 , et que le polygone ne soit pas plan , on a