PREMIÈRE PARTIE
du déterminant est le produit des éléments de la diagonale,
Du premier terme on déduit tous les autres, en laissant les premiers indices invariables et permutant les seconds. On prend chaque terme positivement ou négativement, suivant que la permutation des indices qui a servi à le former appartient ou n'appartient pas à la même classe que le premier arrangement des indices.
Le délerminaiït de w* éléments est dit du «**"*' degré, parce que ses termes sont des produits de n éléments. Il est formé de 1 . 2 ... /t termes, dont une moitié sont positifs et les autres négatifs (§ I, 3), et parmi lesquels il ne peut s^en trouver deux égaux et de signe contraire, tant qu'il n'existe pas de relations particulières entre les divers éléments. On désigne un déterminant, d'après Cauchy et Jacobi, en renfermant le système des éléments entre deux traits verticaux, ou en plaçant sous le signe somma toi re le premier terme précédé du double signe dz ; ou, d'après Vandermonde, eu plaçant la série des premiers indices qui servent à distinguer les éléments, au-dessus de la série des seconds indices (*) :
fil
^2,1 ûfj^j. . . Û2,n
(*) Caught, Journal de l'Ecole Polytrchnique, XVII® cahier, p. 62. — Jacobi, Det., 4» et Journal de Crelle, t. XV, p. 1 1 5. — Vandermonde, Histoire de l* Académie de Paris, 1772, t. II, p. 517. Lés déterminants ont été découverts par Leibniz {loc. ci/.), qui a cherché à représenter par leur moyen la résultante de n équations linéaires à n — i inconnues, ainsi que la résultante de deux équations algébriques quelconques h une inconnue. Comme second inventeur des déterminants, on doit nommer Cramer {voir §1, l). La dé-
THÉORIE DES DÉTERMIIiANTS.
Exemples :
abc a^bxCx a-i bj C2
= abi — û, b.
= abyCt — abiCx -h a, b^c — a, bc-^ 4- a^bc^ -— ûj6,c.
abiC^d^ — ab^c^dj -\-abiC^d^ — abiC^d^-^ab^Cxd^ — ab^Cid^ \ — fl, bcid^ -h ûi ^^3 r/, -f- a, ^jcrfj — fli b^c^ d — a^ b^cd^ 4- aib^c^d
V — a^bcid^-haibcidi^- a^b^cdi — a^b^Cid — a^biCdi-^aibiCid.
3. Les termes d'un déterminant peuvent aussi se déduire du premier ternie, en permutant les premiers indices et laissant invariables les rangs des seconds indices. Si Ton désigne, en effet, par Aj A, . . . k^ une permutation quelconque des indices 12... w, alors aijjtjaj,*^. . -^nyi„ exprimera un terme quelconque du déterminant. Or ce terme se déduit du premier terme ai,] ^2,1 . . . a„,„ soit en remplaçant les seconds indices i,a,...,« respectivement par ^1 >Aî> • • • >An> soit encore en remplaçant, dans la série des premîet*s indices, k^ par i, A"j par 2, . . . , /r„ par n. On a, dans les deux cas, à effectuer le même nombre d'échanges des indices deux à deux, et par suite le terme déduit par le second procédé obtient le même signe que par le premier procédé. Par exemple, de
«1,1 ^5,2 «3.3 «4,4 rt5,S «6,6 >
nomination de déterminant^ introduite par Caur>hy, a été empruntée à des sommes formées d'après la loi ci -dessus, que Gauss {Disquis. arith,) a nommées déterminants des formes quadratiques. Depuis, Cauchy|j( Exercices de Mathématiques, Exercices d' Analyse) a substitué au nom de déterminant celui Ae Jonction alternée) et aussi Tcxprcssion de résultante employée par Laplace ( voir § 1, 2).
lO
on déduit
