EL, ..., EL

(tel dxti

C'est donc une forme de Bq et il est au moins divisible par la même puissance de t que Bq.

Soient /q et l$, les exposants de n dans Bq et Bo|. On sait que l'on a

h-\ > 'o- Posons dès lors

h-i—h = eo-i,

ou, pour simplifier l'écriture, posons simplement

On voit que e est l'exposant d'un diviseur élémentaire correspondant au diviseur linéaire s — Si de B0 (s).

On pourra donc écrire

U«-0-h = (s — si — i) j'oîi; + ï'o-iM'j,

M, et M!, n'étant plus divisibles par u. On aura, en outre,

B0 = <s'i Be, Bo-, = cr'o-.Bé,;

Bq et B0 l sont deux quantités ne renfermant plus t en facteur. Cela posé, l'expression

3+iV„Q-m

— <7)BeBo-i

-Si — a

a'-'tM',N;

devient

a'e+'o-iBgB^,

en appelant N', la quantité analogue à M', provenant du calcul de V,,o+l, et en négligeant cV écrire les termes qui ne donnent pas de puissances négatives de <?.

On peut encore écrire

Or M', renferme linéairement y, , y2, . . . , yn et N', renferme linéairement xy , .r2. . . ., ,r„. ]1 en sera de même des coefficients de leurs développements par rapport à t. Soient

VBéBé— t

V^ô Bé-.

Le coefficient de - que nous cherclions sera donc

— (s — S,-) (Êole-l-H- • •-+- Êe-llo) "+- (Êo1e-2 + - • ■ + ?c-2^o)-

Nous poserons, pour simplifier,

Êole-l-K. -H- Êe-i i)o = (!*))«■

Nous voyons ainsi que, étant choisie la racine si, les termes successifs du développement de — Jt'+a ), nous donneront

-('-**) (h)*-*- (El )*-i,

-(»-«<) (Si)., -Kto )..-i,

Pour une autre racine s] nous aurions

— 0 — *i)(ïïi)êj + (^V0-i,

Au lieu de réunir tous ces résultats en considérant les diviseurs linéaires s — s,, s — s'n . . ., considérons les diviseurs élémentaires

(s — *,)«., (s — s,)=», ..., (s — 's9yt,

et il importe peu que les diviseurs linéaires correspondants soient distincts ou non, nous aurons, en ajoutant tous les résultats obtenus,

<-P F =/* + T = - 2 [(« - «*) (h )«- (Çi| ).,-. ]■

On voit donc que chaque diviseur élémentaire fournit son terme dans le déve-

loppement de F. C'est en cela que consiste l'indépendance des rôles de ces di\ seurs élémentaires dans le calcul que nous venons de faire.

•13. De la formule précédente on tire

Il faut remarquer que l'on doit poser

(£r, ),.! = o pour <? = o.

ii. Les expressions \ sont des fonctions linéaires et homogènes de r, , ...,ya et les expressions y, sont des fonctions analogues des a;(, . . ., x„.

Nous allons montrer qu'on peut réciproquement exprimer j-, , x», . . ., X„ en fonctions linéaires et homogènes des ■/) et y,, ^2, . . ., y„ en semblables fonctions des £.

En effet, de l'équation

on tire

/=-S(^)e, et, par conséquent, le déterminant de la forme 2 (£■/)),. est égal

et n'est pas nul. Appelons S ce déterminant.

Si l'on fait le changement de variables qui change les \ en y et les 7) en x, le déterminant o sera multiplié par les deux déterminants de substitution que nous appellerons ox et Sr. Mais, quand les variables sont x et y, le déterminant de S(£y|)e est celui de y et est supposé différent de zéro. Soit ot ce déterminant, on a la relation

d'où l'on conclut que ôx et or ne peuvent être nuls et, par suite, qu'on peut exprimer les a; en ïj et les y en \.

SYSTEMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. [\"j

En outre, puisque les déterminants ox et o7 ne sont pas nuls, il y a bien n fonctions Ç et n fonctions r,.

■4o. Les formules (44) ont été données par M. Weierstrass. L'éminent analyste leur a donné encore une autre forme plus symétrique que la précédente et que nous allons indiquer.

Soient g, h, g', h' quatre nombres, entiers si l'on veut, tels que le déterminant gh' — hg' soit égal à l'unité, et posons

<p = g'P-hh'Q, F = - (/*-+- ?) = [(<?P H- hQ)sr- (g'P -t- A'Q;].

Nous tirerons de là

F = (&- g") P + (hs- h') Q=pP+qQ, en posant

ff* — g' = p, hs — h' = q.

Nous aurons, en outre,

ap ■+■ bq = ( a<? -+- bh )s — ( a g' + bh').

Supposons que ap -+- bp soit un diviseur du déterminant [[», Q] et remplaçons a et /; par des valeurs proportionnelles, de sorte que l'on ait

ag -h bh = i , ag' -i- bh' = Si, nous aurons

ap -r- bq = s — s,-.

Il résulte de là que les diviseurs élémentaires du déterminant de la forme F = pP-\-qQ correspondront aux diviseurs de la forme F= — (/s +o). Si l'on résout alors le système d'équations

ag -+- bh — i,

ag' ■+- bh = s;.

on aura, en introduisant un indice pour a et b,

«i = h' — hsi, bi= — g'-\- gs,-. Enfin les équations

gP +AQ=-/,

donneront

P = - h'f - Acp = 2 (a,+ An) ({11 ), - A 2 »Kfr ).,- A 2 < h ).*-i,

ou enfin

46. On voit donc que, si P e< Q sont deux formes bilinéaires telles que le déterminant [P, Q] ne soit pas identiquement nul, si g et h sont deux constantes quelconques, telles que te déterminant de la forme £'P + AQ ne soit pas nul, et enfin si (aip -+- biq)ei est un diviseur élémentaire quelconque du déterminant [P, Q], on pourra poser les formules (45).

17. Le coefficient de s" dans [ P, Q] est la valeur de [ P, Q] pour/? = g, q = A ; en le représentant par [g, A], nous aurons

[P, Q] = [ g, A] IX ( «tP - »/ ? )e< = [ff.* ]]J (* - " >C"

48. A un exposant e, correspond dans P un nombre e,- de termes multipliés par a; et un nombre <?,■ — i de termes multipliés par A. Donc à un exposant a correspondent iei — i termes dans P, et de même ici — i termes dans Q, lorsqu'on donne à P et à Q les formes (45) qu'on peut appeler canoniques.

Si l'on ae;=i, le nombre des termes dans P ou Q se réduit à l'unité.

Si tous les nombres ei se réduisent à l'unité, on aura le cas le plus simple des

formules (4^) sous la forme

P = Xafa-w, j

Dans tous les cas, on pourra un peu simplifier les formules (44) en posant

g = \, A = o, ^''=0, A' = i si [P] n'est pas nul, et

g = o, A = — i, £•'=!, A'=o si [Q] n'est pas nul.

49. En résumé, étant données deux formes bilinéaires P et Q, si le détei-

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. /j()

minant de la forme pP -h qQa p diviseurs élémentaires

{aip + biqy^ (apP + bpq)er<,

et ii importe peu que les binômes («,/? + b, q), . ..,(a?p + bpq)soient distincts ou non, on peut déterminer n fonctions linéaires et homogènes des y, soient ¥»> Si. •••> ç',.-, (i = i,2, ...,p),

et ii fonctions linéaires et homogènes des x, soient

■ 'ÎO. Vi> •••! TU',-1 (»'= 1,2, • •-, ?),

tel/es que, pour des valeurs données des constantes g et h et pour des valeurs convenables des rapports |i, on puisse construire les nouvelles formes

et, réciproquement, on pourra exprimer lésa: et les y au moyen des \eldes-rt de manière à reproduire les formes primitives.