Étant donné un déterminant quelconque

et» ... a,„ a,,i ... ann

on démontre, dans la théorie des déterminants ('), que l'on a toujours

dA d\ à\ dA d2 A

dxrs daris, ày.,.l5 àxrSt da,.s da,.,*,

Cette proposition va nous être du plus grand secours dans le calcul que nous allons entreprendre.

Nous appliquerons ce théorème à des fonctions telles que Be, que nous représenterons par la notation

B(k», ..., m9; i>\ ..., p6), ou par la notation

en n'indiquant que les éléments les plus indispensables. Introduisons dans notre calcul l'expression

Bo = B( w-8, X; V-®, Y),

(•) Voir la Note sur les déterminants.

4o L. SAUVAGE.

qui se tire de B„e+( en remplaçant les éléments de la dernière bordure par les dérivées partielles de la forme P.

Nous aurons

R0 = BO", X; V, Y) = o.

Appliquons le théorème rappelé plus haut à l'expression Re, nous aurons

et, si nous posons

B(«*-8-i, X; (>*-8)= Ue+i,

B(K«-8; ob-8-1, Y) = Ve+i,

nous aurons la formule

Re+iBn-0— Ue+iVe+i= B«-e-iRo.

ou, en changeant 0 en f) — i ,

ReB„o+) — UoVq= B„oRo-i.

Appliquons cette formule plusieurs fois de suite et ajoutons à ces résultats une identité déjà démontrée, nous aurons

R,B„ — U,V, = o, R2B„i— U2V2= RiB„2,

Nous pouvons écrire ces équations sous la forme

Ri UiV,

R2 ' Us V2 R,

B^ ~~ B„iB„2 + B„,'

R« U„V,t Rra-i B0 ~ B,B„ + B, '

et, en ajoutant, nous aurons la relation

B/^B/i— i B^i B/i-2 Bj]

39. Les fondions U& et Va sont respectivement des fonctions linéaires des X et des Y, et ne renferment respectivement que les variables y ,, . . . , yn ou

Les expressions B<t sont des constantes qui dépendent des valeurs attribuées aux arbitraires u et v. Arous concluons de là qu'il y a une infinité de manières de ramener une forme linéaire (P) à la forme

(43) 2A'aaa;«r« (a=i,2, ...,n).

Cette proposition correspond à la réduction d'une forme quadratique à une somme de carrés.

40. Mais le calcul précédent n'esl valable que si les dénominateurs ne sont pas nuls. On peut toujours se placer dans ce cas si B0 n'est pas nul, comme nous en ferons toujours l'hypothèse.

En effet, on a «

et l'on peut choisir les arbitraires ul)+i et p9"1"1 de manière que Be+i se réduise à

un mineur quelconque — r-^- de Bq (voir § 3i). Tous les mineurs -r — ne sont pas

nuls si Bo n'est pas identiquement nul, car Bq el son déterminant adjoint ne peuvent être nuls l'un sans l'autre (').

Donc, si B0 n'est pas identiquement nul, on peut choisir les arbitraires «', <>' de manière que B| ne soit pas identiquement nul, puis les arbitraires u-, c2 de manière que Bo ne soit pas identiquement nul, etc.

il. Si B0 n'est pas nul, les fonctions U,, ...,U„, ou les fonctions V( , ...,V„, sont linéairement indépendantes.

En effet, dans le cas contraire, on pourrait par exemple poser

U, = C/,Ti + ...+ G,vtT4 (s' = i,2, ...,«; /c<ti),

les nouvelles variables T étant indépendantes.

De là on conclurait par l'élimination de ces variables n — k relations linéaires et homogènes entre x,, x-2, . . ., x„. Or, si l'on considère les dérivées partielles de P,

Y/ = a1,-.7'i -(-...+ antxn (i = i, a, ...,»),

(') Voir la Note sur les Déterminants.

et l'une quelconque de ces n — k relations

miii + . . .

on pourrait éliminer xu x.>, . . . , x„ cl l'on obtiendrait un résultat de la forme

GlV1+...+ C,iY„ = o.

Ce résultat est incompatible avec l'indépendance linéaire des fonctions Y, indc pendauce caractérisée par la condition

En résumé, la forme I* peut être ramenée, d'une induite de manières, à la forme (43), et il sera impossible de diriger le calcul, de façon c/ite celte forme (43) renferme moins de variables indépendantes c/i/e P.

42. Appliquons maintenant les principes précédents à la forme complexe <»

où s est une indéterminée et où l'on a

Nous supposerons que le déterminant de la forme/n'est pas nul. Par suite, le déterminant de la forme F, c'est-à-dire

flii« + 6n ••• œi«*-+-61;,

a,i\ s -+■ b,n . . . anns ■+- bnll

ne sera pas nul non [dus. Ce déterminant sera même de degré n par rapport à s.

Appliquons-lui le théorème de Gauss démontré au § 35. Nous aurons, avec la

notation du § 38,

Bo(*)

de sorte que s entrera dans F explicitement d'abord, puis implicitement par les X et les Y. Si l'on considère pour un moment les X et les Y comme des arbitraires, F se présentera sous la forme d'une fraction rationnelle en s, dont le dénominateur est du degré n et dont le numérateur est au plus du degré n — i. Mais, si X et Y sont les dérivées partielles de F, le numérateur pourra être du degré n -+■ i . Décomposons cette fraction rationnelle en une somme de m fractions simples,

en nous servant de la règle de Lagrange qui consiste à chercher, pour une racine si de B0(5) = o, le coefficient de - dans le développement de '""'" ( ').

CT rr S S i — T V '

Nous donnerons d'abord à F la forme générale

U.Vi B„B„,

U„V„ BiB0 '

et nous raisonnerons, sur un terme quelconque divisé par 5 — s,

Uh-6+iV»-6h-i (s —Si— (T)BgBo-i

On a d'abord, avec les notations du § 38,

a 1 1 s -+■ b 1 ! ... o[ns ■+- bUl 11 \

On peul remplacer la dernière colonne par une autre, obtenue en retranchant de celle-ci les n premières colonnes multipliées par jKoJl'2? •••> y>i- La nouvelle colonne, écrite horizontalement pour la commodité de l'écriture, devient

*.-~, •••> x«-^' -("in + — +'&*), .--, -(«^i-K. . + «!*.). Nous devons remplacer 5 par Sj-+- n dans U„e+|. Nous aurons alors ùF , , df da>

-r- = (Si -+- <r) -p- H- — i- ,

de sorte que, si maintenant nous supposons que X est la dérivée partielle de F, la dernière colonne deviendra

(s — si— a) -J-, U', ...,U°,

et le déterminant, développé par rapport aux éléments de cette colonne, prendra

la forme

U„8n —(s — Si — (7)Mi+M2.

(M ToîV la Note sur la Règle de Lagrange.

Les coefficients de U1 , . .. , U" sont des fonctions linéaires des mineurs d'ordre H — i de B0, de sorte que M2 est au moins divisible par la même puissance de cr que Bo i .

Quant à M, il est égal à U,(6+i ; quand on a remplacé X, , . . . , X„ par