Soient maintenant deux couples de formes bilinéaires

P(*Lr)> Q(*lr)

P'(^'iy), QVIX),

et supposons que les deux déterminants [P, Q] et [F, Q'] aient les mêmes diviseurs élémentaires.

Nous déterminerons, d'une part, n fonctions linéaires et homogènes de y, JKai ■ • ■ , y,i, soient Ç^ (i = i, 2, . . ., p ; ja= o, 1, . . . , e,— 1), et n fonctions linéaires et homogènes de x,, x2, . . .,x„, soient vjj

et, d'autre part, n fonctions semblables !|jf de j-'(, . . .,y'n et « fondions semblables Vv de a?'(, . . ., x,',r telles que l'on puisse mettre P, Q, P', Q' en employant les mêmes valeurs de g, h, a, b sous les formes

Q=2[*'-^)« +y(hWi],

Q'^^'^.+ ircrV),,-.].

Il est évident que P et P', Q et Q' ne différeront que par la notation el se transformeront les unes dans les autres quand on posera

Mais ces équations sont des relations entre x{ , t2, ..., x„ et x\ , x'2, ..., x'n d'une part, elji, y-2, . .., y„ely\ ,y'2, ..., j/ d'autre part. On a vu qu'on peut les résoudre soit par rapport aux x et aux y, soit par rapport aux x' et aux y'. En outre, les formes P, Q, P', Q', une fois qu'on a choisi g et /(, ne dépendent que des diviseurs élémentaires de [P, Q] et de [P', Q']. On a donc ce théorème, qui est la conclusion de tous ceux qui précèdent :

•Pour que deux formes bilinéaires P et Q se changent simultanément en deux autres P' et Q' au moyen de substitutions convenables des x' aux x et des y' aux y, il faut et il suffit que les déterminants des deux formes

/>P-i-?Q et pP'-r-qQ'

(lient les mêmes diviseurs élémentaires.

51. Pour appliquer le théorème général précédent, il n'est pas nécessaire de décomposer effectivement les deux déterminants [P, Q], [P', Q'] en diviseurs élémentaires.

Si l'on considère les formes fs ■+■ o, /s'+cp', on déterminera, pour chaque ordre de mineurs, les plus grands communs diviseurs de ces mineurs. En leur supposant un coefficient égal à l'unité, et en les appelant

RoO), Ri(s), R2(s)> ..., R'0(*), R\(s), R'2(s), ...,

l'indice o correspondant au déterminant principal et l'indice k aux mineurs d'ordre k, il sera nécessaire et suffisant que l'on ait identiquement

R/t(>) = Ri(s) (k = o, 1,2, . . . , n — 1).

52. Il sera encore utile pour la suite de démontrer directementque les formes(45)

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES, obtenues précédemment, et où l'on a

ej4- e2-t-. . .-t- <?p = n, ga-i-+- hbi — i

admettent bien les diviseurs élémentaires («,-/> -+- biq)0;. 53. Posons

P/ = «i«l)«-A(6ij)*-i.

nous aurons

Soient alors

yP/+ 9Q/ = («,/>-+- biq)(trt)ti -4- (<?? — fy>) (frj )e.t.

aip -+- btq = h,-, £-gr — hp = v

iii et ^ sont deux variables indépendantes avec p el q puisque le déterminant ga.i-'r hbi n'est pas nul.

Par suite, le déterminant de la forme /?Pi + yQ, peut s'écrire

Si nous cherchons de même le déterminant de la forme pP -+- qQ, en posant nous trouverons

Ul o

0 0 ... V Ui 0 O ... M2 0

et nous en conclurons que l'on doit avoir

[P,Q]=JJ[P.-,"Qd-

Or, on a évidemment [P„ Q,] = ± «% et uei sera le seul diviseur élémentaire de [Pi, Q,], car, si l'on efface la dernière ligne et la dernière colonne de ce déterminant, on a un mineur du premier ordre égal à ± ve~i. Mais v est indépendant de ut, elve'~' ne peut être divisé par m,-.

Si l'on a <?,= i, m est évidemment le seul diviseur élémentaire de [P,, Q,] qui se réduit dans ce cas particulier à un seul terme, le terme ;/,.

On aura ensuite

[P, Q] =± «;■ oj. . . wpf= JJ(a//j + btqyn.

On en conclut que les diviseurs élémentaires de [P, Q] ne pourront être que les puissances des diviseurs linéaires atp -+- btq. Il reste à déterminer leurs exposants.

oi. Cherchons les déterminants d'ordre ro de [P, Q]. Chacun d'eux répond à

une suppression de ro lignes et cj colonnes dans le déterminant principal. Si l'on

observe la forme de [P, Q], on reconnaît qu'il est composé de déterminants par-

• liels ayant en commun la diagonale principale avec[P, Q] lui-même. C'est ce que

l'on a indiqué par des barres sur la figure (46) de ce déterminant [P, Q].

Supposons que l'on supprime ra lignes et w colonnes, et, pour fixer les idées, supposons que les k premières lignes et les kJ premières colonnes du mineur obtenu renferment les éléments non nuls qui restent après cette suppression dans le premier déterminant partiel [P,, Q,], k étant ^A', k' > k par exemple.

Dans un terme quelconque du développement du mineur de [P, Q] entreront nécessairement un élément non nul de la première ligne, un élément non nul de. la deuxième, etc., et ces éléments ne pourront appartenir qu'aux //premières colonnes, les autres colonnes ne pouvant fournir que des éléments nuls dans les lignes considérées. Mais il restera encore k1 — k des premières colonnes dans lesquelles il faudra prendre un élément en dehors des A" premières lignes. Cet élément sera nul. Nous concluons de là que les seuls mineurs de [P,Q] qui ne sont pas nuls ont la diagonale principale commune avec [P, Q] lui-même.

Étant autorises à ne considérer que les mineurs de [P, Q] qui ont la même diagonale principale que ce déterminant, représentons par [P;, Q,-]'"''' l'un des mineurs d'ordre m du déterminant [P,, Q(]ou ce déterminant lui-même si m = o.

Tous les mineurs non nuls d'ordre ra de [P, Q] pourront être mis sous la forme

JJlP/.Q/]^,

où l'on suppose

2\ ni[= m.

5o. Cela posé, soit ap -+- bq un quelconque des diviseurs linéaires de [P, Q], et soient, tirés de ceux des déterminants [P,-, Q,-] divisibles par ap + bq, les diviseurs (ap -+- bq)e°, (ap -f- bq)ei, . . ., (ap + bq)er qui représentent tons les diviseurs élémentaires correspondants de ces déterminants.

Nous supposerons que les nombres e0, e{, . . ., er n'aillent pas en croissant .

Si nous prenons rm= i, pour les valeurs o, i, ...,/• de l'indice i, et que nous prenions précisément le mineur de [P/, Q,] obtenu en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne, le mineur de [P, Q] qu'on formera ainsi en supprimant dans [P, Q] au moins r + i lignes et r -f- 1 colonnes ne pourra pas être divisé par ap + bq. Donc les mineurs de [P, Q] d'ordre égal ou supérieur à /-+i n'admettent pas en commun le diviseur linéaire ap -\- bq, et, par suite, il n'y a pas plus de/'+i diviseurs élémentaires fournis par le diviseur linéaire ap -f- bq.

Cherchons main tenant l'exposant du diviseur ap + bq dans les mineurs d'ordre vs inférieur à r + i . Soit p le nombre total des déterminants [P,, Q,], on a

P — rc = ( ? — r — i) + ( r — ra + i).

Puisqu'il n'y a pas plus de ra nombres m0, m{, .. ., mp qui ne soient pas nuls, il y en a au moins p — ro ou encore

(p — r — i)-h(/ ra-+- i)

qui le sont.

On pourra bien prendre nuls les p — /• — i nombres m qui ne correspondent pas aux indices o, i, . ..,r; mais parmi ces derniers il faudra en prendre au moins r — ro -+- i qui soient nuls.

Donc, dans le produit

n[PftQ,]<«J

apparaîtront au moins r — w + 1 des déterminants [P/, Q,] où i est égal à o, i, ...,/-. Par suite, chaque mineur de l'ordre rode [P, Q] sera divisible par une puissance de (ap + bq) dont l'exposant sera la somme de r — ra + ï des nombres e0,e,, ..., er. Cet exposant ne sera pas plus petit que la somme

D'ailleurs, si l'on égale à l'unité les nombres m-i auxquels correspondent les exposants e0, e,. ..., ea, et à zéro les autres nombres m,-, on peut former un mineur de [P, Q] qui admette ap -+■ bq comme diviseur exactement au degré pEr+ Cet+i +■ • •+ sr et qui soit d'ordre ra. On en conclut que (ap + bq)ev+ •■■+«,. est la plus haute puissance de ap + bq qui divise à la fois tous les mineurs d'ordre m de [P, Q].

Posons alors

Ai = e<i-t-ei-t-. .+ enr+...H-

' en- 1 — 'ct —

ou encore

h—lî= e2,

/,..,- lr=er,

/,,, /| , . .., /,. seront les plus hauts exposants des puissances de ap -+- bq respectivement dans le déterminant principal, dans ses mineurs du premier ordre, etc., dans ses mineurs de l'ordre r. Si l'on se reporte aux définitions posées au début du Chapitre, on voit que

(ap + bq)';

(ap-hbqY

sont les diviseurs élémentaires de [P, Q] qui correspondent au diviseur linéaire ap -+- bq.

Les nombres e ne vont pas en croissant : c'est une condition à ajouter à celles qu'on a trouvées dans les définitions du début.

06. Puisque les formes canoniques de deux formes bilinéaires P et Q ne dépendent que des diviseurs élémentaires du déterminant [P, Q] et de deux constantes arbitraires g et h, on en conclut que si on laisse arbitraires g et h, et si l'on fait une double substitution générale dans des formes canoniques construites a priori, on obtiendra les formes bilinéaires les plus générales correspondant aux diviseurs élémentaires que l'on a choisis.

57. Dans le cas où le déterminant [P, Q]an diviseurs élémentaires, plusieurs pouvant provenir de diviseurs linéaires égaux entre eux, les exposants e0) et, ..., er sont tous égaux à l'unité. Les formes canoniques deviennent simplement

P = «iîiTQl-

Q=*iSi1i-

bnl>r,n.

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 5o

Réciproquement, le déterminant de la forme

j»P-t-?Q = 2(ai/> + «i?)Efi)<

admet les diviseurs élémentaires

a,p -f- b^q, ..., anp ■+■ buq.

11 faut donc, pour que P et Q puissent prendre les formes précédentes, que le déterminant [P, Q] possède n diviseurs élémentaires. Mais [P, Q] renferme chacun de ces diviseurs à la première puissance; tous les exposants e sont égaux à l'unité, et, pour un même diviseur linéaire de [P, Q], on a

En conséquence, un même diviseur linéaire du degré l0 de multiplicité fournil l0 diviseurs élémentaires dont les exposants e sont égaux à l'unité, et ce diviseur linéaire est commun à tous les mineurs d'ordre l0 — 1. On a donc ce théorème :

Pour que les /ormes P et Q puissent s'écrire

\i et -t\i étant respectivement des formes linéaires et homogènes des y et des x, il faut et il suffit que tout diviseur de [P, Q] qui entre comme diviseur linéaire au degré /0> ' soit en même temps un diviseur commun de tous les mineurs de l'ordre l0 — i de [P, Q].