Considérons enfin les deux formes bilinéaires

(47) p= ïi/i+.'.+ W»'

(48) P'=.v'ly[ + ...+ x'ny'„,

et supposons que l'on veuille par une double substitution linéaire passer de P à P' on posera

(49) y't=cnyi + ...->rCiny„, et l'on en déduira

2^'iy'i = 2 x'i cuyj = 2 x''j Cjiyi = ^ myj -

56 h. SAUVAGE.

d'où

< 5o) x,- = cnx\ + . . .+ cnix'a.

11 est évident que l'on peut remplacer les y et les y' par des fonctions quelconques, pourvu que l'on respecte les équations (49) ou, ce qui revient au même, les équations (5o), ces deux sortes de relations s'entraînant l'une l'autre quand on pose P = P'.

Remplaçons en particulier les y par des combinaisons linéaires d'eux-mêmes, soit par exemple r, par

«/,r, -H. . .-\-ainy„,

de sorte que P deviendra la forme bilinéaire générale

Q = •ZaijX<yj.

Remplaçons de même les y' par des combinaisons analogues, soit y\ par a'ny\ -+-...-+- a'iny'm de sorte que P' deviendra la forme bilinéaire générale

Q'= T.a'ijx'uy'j ; on suppose que les relations (5o) sont conservées. On devra donc avoir (5i) Y.a'ijy'j= c/,(a„ jki -+-• • .+ alnyn) + . . .-+- cin{aniyi + . . . -+■ annyn)-

Peut-on satisfaire à ces relations (5i) tout en conservant les relations (49)? R faudra que l'on ait

(52) a'il(cnyl-h...-hci„y„) -h. ,.-ha'in (c;iljKi+- ■•+ c,mya)

= c,-i(ani>'i + ... + «i„j>'„)-4-.. .-hc/„(a„1^1-l-...4-«„„jK„)

ou encore

(53) aj, c,j-h . . .H- a'inc,,j= cna,j-h. . ,+ c/„a„y ( i, j = i, 2, ...,«)■

Réciproquement, si ces relations sont satisfaites, on aura identiquement les relations (52) et, à cause des relations (5i), on aura

(54) a',i(c„jKi-t-- • ■-+- clny„) -+-. . .-+- a'ln{cniyi + . . .-+- cn,,yn) = a!Hy\ -+-. . .-h a'iay'n:

Or, le déterminant des c n'étant pas nul et celui des a n'étant pas nul non plus, on remarquera que les relations (53) expriment que le produit du détermi-

riant des a! par le déterminant des c est égal au produit du déterminant des c par celui des a. Donc le déterminant des a' n'est pas nul, et les relations (54) entraînent les relations

(49) y\= cnyl + ...-*-Ciayn-

Par suite, pour qu'une même substitution double

■ Ci n y n,

Cni&li

ramène à la fois P à P' et Q à Q', il faut et il suffit que les relations (53) existent.

Mais alors les déterminants des deux formes Q — coP et Q' — coP' auront mêmes diviseurs élémentaires, et réciproquement si Q — coP, Q' — coP' ont mêmes diviseurs élémentaires, on pourra calculer les relations (55), qui auront bien la forme indiquée à cause de la forme spéciale donnée à P et à P'.

En résumé, si l'on a les relations (53), les deux déterminants

R'(co) =

«.,,, — ai

ont mêmes diviseurs élémentaires, et réciproquement, si ce fait a lieu, on a les relations (55) et, par suite, les relations (53).

Nous aurons à appliquer ce théorème final dans la théorie des équations différentielles.