DES POINTS SINGULIERS

59. On peut faire remonter l'étude des points singuliers au célèbre Mémoire de Puiseux sur les points algébriques; mais le travail fondamental, relativement aux points singuliers des intégrales des équations linéaires, est celui de M. Fuchs.

60. Nous avons supposé dans le Chapitre premier que la variable x décrivait, dans le plan des .r, un chemin quelconque partant d'un point initial x0 et conduisant à un point terminus quelconque, ce chemin étant assujetti à la condition de ne passer par aucun point singulier des coefficients des équations différentielles linéaires (nos2et suivants). Nous considérerons maintenant le cas, plus spécial, où le point terminus se confond avec le point de départ. La variable décrira donc un chemin fermé. Les éléments des solutions du système

(A) -^ = ^aijyu (»',/ = i,2, ...,«)

auront pris des valeurs nouvelles. Nous déterminerons l'influence que peut avoir sur ces valeurs un point singulier entouré par le chemin fermé décrit par la variable x.

61. Nous supposons toujours que, dans une région T du plan, les fonctions a/y qui entrent dans les équations (A) soient uniformes et continues, sauf en certains points que nous appelons singuliers. Quel que soit le chemin fermé suivi par la variable x, les coefficients aij reprendront au même point du plan la même valeur. Ces fonctions sont d'ailleurs régulières en chaque point non singulier, c'est-à-dire sont développables dans un domaine convenable de chaque point as = a, en séries convergentes de la forme

SAr(a? — a)r (r = o, i, 2, . . ., oo).

Soient y, , j-2, ..., yn les éléments d'une solution. Nous appellerons Y, , Y2, ..., Y„ les nouvelles valeurs de ces éléments, quand la variable ayant décrit un chemin fermé recommence à le parcourir.

Cela posé, le théorème fondamental est le suivant :

Si la variable indépendante revient à sa valeur initiale, les nouvelles va-

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Og

leurs Yij des éléments d'un système fondamental de solutions sont liées aux anciennes yij par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme (56) Yi/=Cj1yii-i-...-hCjnyin {i,j = i,2,...,n).

En effet, si l'on considère les fonctions qui dans le mouvement de la variable .z partent d'abord des valeurs Y/y, on sait qu'on peut les exprimer linéairement au moyen des fonctions yij, ce qui démontre le théorème précédent.

On remarquera que le déterminant des constantes C est différent de zéro; car les fonctions Y,-y forment un système fondamental puisqu'elles continuent les fonctions yij, et il faut qu'on puisse exprimer les fonctions yij au moyen des fonctions Y,-y.

62. Supposons que le chemin fermé décrit par la variable n'entoure aucun point singulier. Nous allons montrer que les fonctions yij sont uniformes et que, par suite, les relations (56) se réduisent à la forme

?ij = XiJ-

11 existe un domaine du point de départ x0 où les fonctions a sont régulières. Sans sortir de ce domaine, allons à un point xs . Il existe, dans le domaine considéré, n fonctions y,, y2, • • •, yn satisfaisant aux équations (A), et qui ont au point x0 des valeurs arbitraires v),0, . . . , 'r\n0. Quand la variable x sera parvenue en xt , les fonctions y auront des valeurs bien déterminées rin, ..., 7)n1.Le point X\ n'est pas un point singulier des coefficients a. Il existe pour ce point un domaine dans lequel la variable x pourra passer du point xt à un point x» et les fonctions y passeront des valeurs v\u, ... rlin aux valeurs déterminées

"1l25 • • -, '1rt2-

En avançant ainsi de proche en proche, on arrivera à un point terminus quelconque. Nous supposons dans ce Chapitre que nous revenons au point x0 luimême.

Cela posé, remarquons que les domaines successifs sont formés de cercles qui empiètent les uns sur les autres. Prenons arbitrairement un point x\ dans la région commune aux domaines des deux points x0 et x, ; puis prenons un point x'., dans la région commune aux domaines des deux points xt et x2, etc.

Joignons le point x0 au point x\ par un chemin quelconque tracé dans le domaine du point x0, puis le point x\ au point x'„ par un chemin quelconque tracé dans le domaine du point x, , etc.

Nous pourrons substituer le chemin xax\x'2. . . au chemin x0x,x.2. . •■

En effet, on peut évidemment substituer au chemin nouveau le chemin obtenu

60 h. SAUVAGE.

en allant du point x0 au point x\, du point x\ au point x, dans la partie commune à deux domaines, du point x, au point x\ parle même chemin, du pointx', au point x'2, du point x'„ au point x-2 et du point x-, au point x'.-, sans sortir de la partie commune à deux domaines, etc.; or le chemin direct x0x, et le chemin xux\x, conduisent aux mêmes valeurs rlH, .... r,,(l, car on n'est pas sorti dudomaine du point x0 ; le chemin xy x\ x'.,x» et le chemin direct x^ x-2 sont de même équivalents, etc. Il est en outre évident que le chemin x\ x, par exemple, étant décrit successivement dans les deux sens, ne change pas la valeur de la fonction et peut être supprimé.

Il résulte de là que, connaissant les valeurs initiales des fonctions J'i, JK2, ■ ••,JKn au point x0, on peut revenir à ce point x0 par deux chemins fermés voisins différents sans changer les valeurs initiales des fonctions Y.

Mais alors, si le chemin fermé décrit par la variable x peut être déformé dans la région T d'une manière continue en ne rencontrant pas de points singuliers, on pourra le réduire au point x0 lui-même. C'est ce qu'expriment les relations

En résumé, les éléments des solutions du système (A) sont des fonctions uni/ormes dans toute région qui ne renferme pas de points singuliers des coefficients a.

63. Les relations (56) sont caractéristiques des solutions des systèmes (A) d'équations différentielles linéaires et homogènes.

Soit, en effet, D le déterminant, supposé différent de zéro, de n- fonctions ytj (i1j= 1, 2, .. ., n) d'une variable indépendante x, régulières en tous les points .r, sauf en des points singuliers, lorsque la variable reste dans une région T du plan. Supposons que cette variable x décrive un chemin fermé ne passant par aucun point singulier et revienne à sa valeur initiale. Si les n- fonctions prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants, telles que les relations (56), ces fonctions forment un système fondamental de solutions d'équations de la forme (A), dont les coefficients a sont uniformes, et n'ont pas d'autres points singuliers que les points singuliers des fonctions.

Nous démontrerons cette proposition en formant un système d'équations tel que (A), auquel satisfassent les n solutions

y\j, yaj, •••> y nj (y =i, a, ...,»).

Nous aurons, en général, les relations

dyu

anyij + -- :+ ainynj (7=1,2, . . ., n),

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 6l

et nous en tirerons

dyt\ Xn ••• -4- ••• y m

D aip =

dy,n dx

ynn

c'est-à-dire que nous pourrons calculer les coefficients a.

Ces coefficients sont exprimés par le rapport de deux déterminants. Le dénominateur du rapport est toujours D; le numérateur est le résultat obtenu en remplaçant dans D les éléments d'une colonne par les dérivées des fonctions yij. Les éléments des deux déterminants prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme (56), quand la variable x a décrit son chemin fermé. Les constantes sont les mêmes pour les éléments homologues des deux déterminants qui forment le rapport. Les deux lermes du rapport sont donc multipliés par le même déterminant des constantes. Donc le rapport ne change pas et les fonctions a sont des fonctions uniformes.

II résulte du calcul des coefficients a qu'ils ne peuvent avoir d'autres points singuliers que ceux des fonctions yij elles-mêmes.

Enfin, le déterminant D étant différent de zéro, les fonctions y y forment un système fondamental de solutions du système d'équations différentielles

dyj

= anyi-

an,)',,-