Prenons l'exemple donné par M. ïannery

Soit /(y, x) = o une équation algébrique rationnelle, entière et de degré n enj'. Cette équation définit n fonctions y,, y», . .., yn qui sont régulières en tous les points du plan, sauf en des points singuliers algébriques. Si la variable décrit son chemin fermé, ces n fonctions prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations telles que les relations (56) et même de la forme la plus simple. En effet, en un point x, l'une de ces fonctions doit rester la même, ou être remplacée par l'une des autres, après que la variable a fait le tour du point x. Cela résulte de ce que l'équation algébrique ne peut fournir que n fonctions y différentes.

Les dérivées successives des fonctions y seront des fonctions satisfaisant aux mêmes relations que ces fonctions elles-mêmes. Nous considérerons comme inconnues auxiliaires ces dérivées jusqu'à celles de l'ordre n — i inclusivement.

Déterminons y par la relation algébrique

du degré n en y. Les n2 fonctions inconnues que déterminera cette équation satisfont à un système différentiel tel que (A), lorsque leur déterminant n est pas nul, c'est-à-dire quand elles sont linéairement indépendantes. Dans le cas contraire, le système différentiel renferme moins de n inconnues.