Faisons le calcul

On peut trouver deux polynômes A et B, tels que l'expression

soit indépendante de y. A et B seront deux polynômes entiers et rationnels en y el x et de degrés respectifs au plus n — 2 et« — 1 par rapport à y. Or on a

on aura donc

si y satisfait à l'équation

Au moyen de l'équation /(y, x) = o, on peut réduire les puissances de y au plus à l'exposant n — 1 et l'on aura

dy = Yl

dx o

— étant une fonction rationnelle en x et un polynôme en y au plus de degré n — 1 . On aura ensuite

àf dy

àf

àf~

ày

dx- dx \ <p / !52

Pi ■ 1 * . pl

-4 étant une expression de même nature que —

En continuant ainsi, on pourra poser, en appelant y, une solution quelconque de l'équation algébrique,

dy, P,

d'y 1 dx'2

= A§ +A?yi +..

= -4 =Af,

■A^.rr1 ■A-urr1

d»-iyi = FV-i dx'1-1 ta"-1

d"yi dx"

A? +A?.yi +... + Ag,jKÏ !

: AS+i -h Aï+'^-H. . .4- AS+'jKr1

SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES.

Entre ces n équations on peut éliminer les n — i puissances j'J, y'\, ...,y" ' , et il restera une relation qui, développée, se présentera sous la forme

dny\ dx"

..H-U^.^l + U.jr.-o,

ou, comme l'on sait, sous la forme équivalente

dy„ dx

UiJC„-f-...-+- Un-^z-H U„/i= O,

dyit

■ Xk+i

On obtient ainsi le résultat demandé. On remarquera que tous les coefficients U sont uniformes comme fractions rationnelles de x. De plus, les points singuliers ne peuvent provenir que des équations <p = o ou U0 = o, ou de l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le coefficient dejK" dans /(y, x) = o. Le seul cas qui prête à discussion est celui où l'on a

ou encore

AJ A? ...

Or, considérons le déterminant D, on a

dyx dx

d"-lyi d*-*yt dx"-1 dx"-1

y" dy„

d'-iyn dx"-1

iV'-hAlyi-

kl-\y'[~

K-iyT

Le premier facteur est le produit des différences deux à deux des quantités

Le second facteur est la quantité U0 elle-même.

On voit par là que si les fonctions y, , y2, . . ., y„ sont linéairement indépen-

dantes, l'équation U0=o ne peut être salisfaite que parles points singuliers, c'est-à-dire par les valeurs de x qui annulent D exceptionnellement.

Dans le cas où l'on a identiquement U0== o, les n fonctions y étant supposées distinctes, on auraD = o, c'est-à-dire que ces fonctions, quoique distinctes, ne sont pas linéairement indépendantes.

Dans ce cas, l'équation différentielle

s'abaisse à un ordre moindre, ou, ce qui revient au même, le système différentiel équivalent peut être ramené à renfermer moins de « équations différentielles.

66. Revenons aux relations (56) qui relient entre elles les valeurs nouvelles et les valeurs anciennes des éléments d'un système fondamental de solutions.

Considérons à la fois deux systèmes fondamentaux de solutions dont nous représenterons par y ij et 7)/y les éléments. Soient Y/y et H/y leurs nouvelles valeurs. Nous devrons avoir les deux systèmes de relations à coefficients constants

H/y = Xyi T)ji -+- .' . .-+- Xy„ !),-„

et les deux déterminants L et A des constantes l d'une part, ~k de l'autre, seront différents de zéro.

Exprimons les éléments t\ij en fonction des éléments yij. Les relations sont à coefficients constants et de la forme

et nous en tirons

1/y = Gyij,i-i-...+ Cy„7/„,

■ H,7 = CyIY/1 + ...-t-Cy„Y/„.

Il résulte de là, en développant les deux expressions de H/y

H/y = (Gyi lu + ■ • • -+- Cy-„ lal )yn + ...-+-( Gy, /,„-»-... H- Cy„ lnn )yln, H/y= (Xyi Gn-f-.. .-f- Xy„GHl)r/i+. • •+ (Xy,C,7l-H. . .-h Xy„Ca„).r<„>

lue l'on a

Cyi llt -+- . . .-h Cjn lai = Xyi Cj /+ . . . + Xy„ C,,/ ;

o/i en conclut (§ 58, Chapitre II) y«e les diviseurs élémentaires du déterminant

lu — t0 • • • Inl

ne. dépendent pas du choix du système fondamental de solutions qui sert à former ce déterminant.

G7. Posons en général

Yy= Jyi.r/1 +■■■-!- Wi«>

les coefficients / étant Indépendants de l'indice i. Nous venons de voir que le déterminant

fil— M ••• hn

lan — I

conserve les mêmes diviseurs élémentaires quand on change le système fondamental de solutions.

On a vu d'autre part (Chapitre II, §53, équat. 46) qu'on peut former a priori un déterminant