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tÛ2 — (0
[ »j Cl)
ayant les mêmes diviseurs élémentaires que le précédent. 11 résulte de là que l'on peut faire une double substitution de la forme
Yij = CjOÛ ! -+- . . . -+- Cjn y'in , x'ij = Ciy^/i +. . .-+- C„j.r;„,
qui ramène à la fois la forme
à la forme et la forme à la forme
%i\ Y/i -H . . . -+- Xin Y/n x'il^'il -*"• • •+^/«^i,„
&l\yi\ -+-...+ Xi„yi,i
les y' et les "Y' étant les anciennes et les nouvelles valeurs des éléments qui correspondent au déterminant R'(to).
Or, si l'on considère la forme de ce déterminant R'(w) par rapport aux coefficients qu'on appelait / d'une manière générale, on voit qu'on a les relations importantes pour un système choisi y'^ de solutions
y;-, =u>lyil, y;-2 = t«ir;-2-i-j'/i»
YJ„ =10,7',-,,,
>i ■*-= "J2.ri'/,/-f-j'i',/i-'-i,
On a donc ce théorème remarquable :
Soient (m, — w)e', . . ., (wp — w)e? les diviseurs élémentaires du déterminant R(w), et il importe peu que les binômes tu, — m, ..., up — 10 soient distincts ou non, on peut trouver un système fondamental de solutions dont les éléments se groupent d'après les relations
Y,i = oj/,jr,-i,
v,-, =<*hyn +yn,
Y,-,,-,, = «>/, r,\ci, + y,, a- 1 1
I ,,,/y — (,))<•/, étant l'un quelconque des p diviseurs élémentaires de R(a>).
O/) /><?«£ arriver à ces relations en parlant d'un système fondamental quelconque de solutions, et en substituant à ses éléments d'autres éléments qui leur soient liés par des relations linéaires indépendantes et à coefficients constants convenablement choisis.
68. La seconde partie du théorème précédent conduit à la question intéressante du choix des coefficients constants qui permettent de passer d'un système fondamental au système spécial défini par le théorème.
Soit u)| — w un diviseur linéaire quelconque du déterminant
Inn —
correspondant aux éléments y,j d'un système fondamental de solutions; on a,
par suite,
(57) Yij=ljljril+..--hljnytn.
L'équation R(w) = o s'appelle, d'après M. Fuchs, l'équation fondamentale déterminante ou simplement l'équation fondamentale.
Soient (to, — <o)A", ( to , — w)^, •.., (w, — toA-i les plus hautes puissances de to, — to qui divisent respectivement R(w), puis tous ses mineurs du premier ordre, . . ., enfin tous ses mineurs de l'ordre r — 1. On sait que les nombres /<„. h,, . .., h,, ne peuvent aller qu'en décroissant, et que leurs différences successives
li{, — /îi = eii> ''1 — h%= ej, ..., h,—, — hr-i = <?/— 2> /'1— 1 = e/-i
ne peuvent pas aller en croissant.
Puisqu'il doit exister une solution satisfaisant à la relation
si l'on a
u/= giyt\-*-..-+gnyin et, par suite,
U/ = gx Y,i +. . .-+-***/« = S (<f , /„■ + . . . ■+- g„ lnj)y,j,
on devra pouvoir satisfaire aux conditions
(58) hjgl-i-...-i-(ljj—tOi)gj-i-...-hl,ljgn—Q (J = 1,2 H ).
Or le déterminant ll(w) admettant le diviseur linéaire to, — to, on voit déjà que les conditions (58) sont compatibles. Ensuite tous les mineurs de R(w) s'annulant pour to z= to, jusqu'à ceux de l'ordre /-exclusivement, on pourra exprimer gt, g2, • • • , gn en fonctions linéaires et homogènes de /• constantes arbitraires.
11 y aura donc r solutions u;j (i = 1, 2, . . . , n\ j = 1, 2, . . . , /■) linéairement indépendantes, satisfaisant à la relation
et donnant par combinaisons linéaires toutes les autres solutions qui satisfont aux mêmes relations.
69. Ces /' solutions étant déterminées, il existera des solutions ur, satisfaisant aux relations
Vjjl = 0>i U'jji-i- «',',/'- 1>
si tous les diviseurs élémentaires fournis par to, — to ne sont pas simples.
Pour trouver ces nouvelles solutions, nous supposerons qu'on a choisi pour système fondamental un système de solutions où entrent les fonctions déjà calculées u/j (i — 1,2, . . ., n; y=r, 2, . . ., /•). Ce système peut être considéré comme fondamental, car on peut évidemment prendre arbitrairement les valeurs de /• désignées des quantités gt, g.,, . . . , g„. Soient g,, g-2, gr, . . . ces quantités. Si le déterminant
gi>
n'est pas nul, on pourra substituer, quelles que soient les valeurs que l'on calcule pour gr+i, gr+ï, • • • -, g/i, le système ay, yiy au système primitif, sans que le nouveau système cesse d' être fondamental. Alors les relations (5y) prendront la forme
I Un
\ Y;-„ =/;,,;/,-, +...-{- l'„rUir -+-/',,,, ■+\J'i,r+i -H... -H l'naXin-
70. Nous montrerons tout d'abord qu'il existe une relation de la forme
U'/ = u>i u\ -Y- a,- ( Uij),
où toi est une fonction linéaire homogène à coefficients constants des «,y, et avec la condition
qui entraîne
"i = ffi un-h.. .-H grU-ir+- ffr^y^r+l-h- ■ .-H ffnlin,
11 faudra que l'on ait
/|(Ol«;i+. • •+O">l«.>+o°'r+l('«l,l "il + ■ • • ■+- l'r+\,,l7in) -+- • • • + £"'« ( *b, 1 "il + • • • ■+■ l'n n y in )
= u}i(g'iu.ii-h...-hg'r ut,. -+- gW\yt,r+i -+- ■ ■ ■ -+- g'nyi,i ) -h II Utl -h... 1,. Uir.
On lire de là les équations de condition suivantes :
éTr+ll'r+i,,-
Tu l'n
i(l'na
Ces équations ne renfermant pas g\ , . . . , g'r, on pourra prendre ces quantités égales à o et poser simplement
\yi
Mais alors les quantités g'r+l, . . ., g'tt, qui sont seules à déterminer, devront pouvoir se tirer des équations (58 a) auxquelles elles satisfont.
Effectivement, si l'on prend les n — /• dernières équations précédentes, le déterminant des coefficients /' correspondant est un mineur de l'ordre /• du déterminant
II) 1 — tu
(ûl-
/■+1 - '+ 1 , Il
• l'an —
eu
relatif au système de solutions (07 a) et qui a les mêmes diviseurs élémentaires que le déterminant R(w). Si ce déterminant mineur est nul, les dernières équations (58 a) sont compatibles, et de ces équations on tirera les valeurs de 0/-+1 1 • ' • ■> Sn et> s' lon veut, ensuite on aura les valeurs des inconnues X, , . . . , \ par les premières équations (58 a).
