Exam sant

nons le déterminant R'(w). Il est égal à (w, — w)r x R,(w) en po-

l'r+l,r+l — tu ... l'r+,n I

Ri(») =

Or R'(co), ayant les mêmes diviseurs élémentaires que R(w), est divisible par (w, — (ù)ao, donc R, (w) est divisible par (u, — u)/>»~r. Les mineurs du premier ordre de R'(to) seront divisibles par (co, — w)*i. En particulier, chaque mineur, égal à (w, — w)rM( R, (w), où M, est la caractéristique d'un mineur du premier

yO L. SAUVAGE.

ordre, est divisible par (w, — w)h> et, par suite, chaque mineur M, R, (w) est divisible par (w, — <j})h~r.

De même chaque mineur du deuxième ordre de R, (10), représenté par M2R( (w), est divisible par (w, — to)A«r, etc. Enfin, chaque mineur de l'ordre /• — i de R| (w) sera divisible par (co, — iù)hr-~r. On pourra le représenter par Mr,R, (w).

Discutons ces résultats. Il faut d'abord écarter les puissances (w, — w)A~'' dont les exposants ne seraient pas positifs. Comme les nombres h0, h,, ..., //,.( vont en décroissant, on voit que le nombre /■ séparera cette suite de nombres en deux autres, l'une hu, h,, ..., hs..t de nombres plus grands que /• et l'autre hs, ..., hr{ de nombres plus petits que r. Les premiers seront seuls à considérer.

En conséquence, nous dirons que le déterminant R,(<o) et ses mineurs d'ordres successifs admettent jusqu'à l'ordre s exclusivement les diviseurs respectifs

(ai! — 10 )'<<>-'•, .... (W|— u> )''—■-'•.

Deux cas pourront se présenter. On pourra avoir h0= r; alors les solutions ui\, . -., Uir seront toutes les solutions distinctes correspondant à la racine W|. Dans le cas de /i0 = r, on sait que le diviseur (w, — to)'' fournit r diviseurs élémentaires simples. Nous nous trouvons d'accord avec la théorie des paragraphes précédents.

On peut avoir h0 > /', alors w, est racine de R,(to) = o, et le calcul préparé plus haut montre que l'on peut former s solutions indépendantes, telles que l'on ait

(60) U; = 10 1 II', -+- Vi(Uij),

où es est la caractéristique d'une fonction linéaire et homogène à coefficients constants.

La fonction cdj satisfait, comme les éléments uïj eux-mêmes, à la relation

*,' = OJ, O;.

Soient u'i/i (j'=i, 2, . . . , s) les nouvelles solutions. Toutes celles qui satisfont aux mêmes relations (60), pouvant être obtenues par le même procédé, ne pourront être que des groupes de fonctions linéaires et homogènes des u et des u'.

l\ ne peut y avoir entre ta,-,, ..., o;s aucune relation linéaire et homogène à coefficients constants, sans quoi l'on pourrait former une fonction linéaire et homogène avec u'it, ..., uis satisfaisant à la relation

Celte solution serait bien distincte des 1/^, puisque les u' ne dépendent que des y.

Il y aurait donc plus de /• solutions satisfaisant à la relation

U = WiK,

ce qui est contraire à l'hypothèse.

Maintenant, puisque s,-,, — -o/s sont des fonctions indépendantes, elles peuvent remplacer 5 des solutions m,, ..., uir et porter les mêmes noms, de sorte que l'on peut écrire, sans nuire à la généralité, les relations

U/y = tûtutj (/= 1, a, ..,/■).

{]',;■ — M, u'ij' ■+- U,y (/ = 1 , 2, . . . , s),

■+-lj",r-t-n-iyi,r+*+1.+----*~lj>nyi>i (/ = ;■ -4- S H- I n),

où entrent les anciennes et les nouvelles valeurs d'un système fondamenlal choisi de solutions des équations (A).

72. Nous pouvons, avec un changement d'indices, écrire les équations précédentes sous la forme

U/,. = 1 OJ, =

Les autres équations (61) en Y conservent les mêmes notations et le même ordre.

L'équation fondamentale, tirée des équations (62), prend la forme

en posant

Ra(a>)

el /o = /■ + s -+- i . En outre, on emploie une forme aussi abrégée que possible pour la représentation de R"(io).

R"(w) a les mêmes diviseurs élémentaires que R(w). De plus, un déterminant R', (w), tiré de R"(w) comme R,('w) est tiré de R'(co), aurait le même diviseur commun à tous ses mineurs de chaque ordre que R((<o).

Un déterminant tel que

admet un diviseur simple (w, — co)2.

Développons par la règle de Laplace un déterminant quelconque de la forme