I CO

en nous servant des deux premières lignes; nous voyons qu'il sera égal à

c'est-à-dire qu'il sera divisible par (oj| — w)s.

Il résulte de là que les mineurs de R"(w), formés en employant les r -\- s premières lignes, seront divisibles par (w, — w)r+J et, par suite, un mineur quelconque d'ordre w de R2(w) sera divisible par ACT — (/■ -+- s).

Comme précédemment, il faudra chercher un nombre t tel que tous les nombres h0, /;, , . . . , h[t soient plus grands que /• -+- s et les autres nombres ht, • • ■ , hr, plus petits.

Si l'on a

alors les solutions uu, . .., uir (voir les équations 62) sont toutes les solutions distinctes correspondantes à la racine to( . Mais si l'on a

alors W| est une racine de R2(to) = o, et nous pouvons continuer le calcul de la manière suivante.

Posons

1 §},%,;*■+-■■■■+■&»%/, = <»igjt, (63 ,

' Sj, l"j,n ■+-...+ S'il l"n « = «0 1 g"n ■

De ces équations (63) nous pourrons lirer t systèmes de valeurs distinctes pour gjt, . . . , g"n et former t solutions

«■<■ = tfuytjt+-->-*-g"nyin (1 = I, 2, .. ., 0,

linéairement indépendantes entre elles, et linéairement distinctes des fonctions déjà formées, puisqu'elles dépendent des y. Or, si l'on multiplie les dernières équations (62) par g"i%, ..., g"H et si l'on ajoute, on voit que la solution Wi satisfait aux relations

(64) W,-= co ,«•,•-+- ij/,- (;/.,i, ...,«;>),

en représentant par <];, une fonction linéaire et homogène à coefficients con slants.

Les t solutions iv,- permettent de former toute autre solution satisfaisant aux relations (6'4), car on a suivi une marche de calcul qui doit toutes les fournir. Entre les fonctions i]^-,, ... , htt il ne peut y avoir aucune relation de la forme

a.tyn -+- . . . -t- li,it =f(un, . . ., Uir),

où a, . . . , "k sont des constantes et f une fonction linéaire et homogène à coefficients constants, car il existerait une fonction linéaire et homogène de (ï'(),

(Vit, qui, n'étant pas une expression des solutions uu, ..., u;r, jouirait des propriétés des éléments u', ce qui est impossible.

On remarquera aussi que t est au plus égal à s, car, s'il en était autrement, par l'élimination des u' on pourrait former une relation

afyti -+- ■ ■ ■ ■+- tyit = /( M/i, • • • , «<>)■

On aurait pu voir aussi que s est au plus égal à /•. Toutes ces remarques sont bien d'accord avec la théorie déjà connue.

73. La méthode suivie peut évidemment s'appliquer indéfiniment, et l'on retrouve sous une autre forme les propositions du n° 67.

7-i. Après avoir tiré tout ce qu'il est possible du diviseur ui, — to de R(u>), on pourra former un système fondamental de solutions

satisfaisant aux relations (6.i)

Yik

les quantités oj,^ étant égales à zéro ou à l'unité, à l'exception de W|, et aux relations

(65) Yy= Gyi[(,| + ...+ GAtt;A+ Gjha+iyi,li,+ i +••■-+- G>jn.yia-

On pourra raisonner sur l'équation fondamentale

R(io) =

R'(co)