OÙ

G«,/io+i G„„ — co

comme on a raisonné sur li(a>).

En outre, si l'on forme le système d'équations

(i»i— tu)/?!, + Ga,h-i,i mj,+i + ...+ Gaim«

io12t?îi -f- (lu] — co)ni2 + G/iD+i j "ï/ij+i -H ■ • - ■+■ G„2»*„

(Ga„+i,a0+i— u>)mAoH-i-i-.. .+ G„/,u+1/»„

G/io-Min "i/i0+i + - ■ ■ -+- (G„« — co) /»„ = o

on pourra le résoudre en prenant pour u une valeur co2 différente de w, et annulant R(w), puis en calculant les valeurs proportionnelles de »îa0+1, •••, «*«, et enfin en calculant successivement les autres inconnues m, dont chacune a pour coefficient co, — co2 dans une des premières équations.

On en conclura, comme au n° 68, qu'on peut former un système fondamental

de solutions

u,/i (h= 1,2 hu -h h'0),

yik {k = h„-hh'0-hi, ..., n),

où les h'0, h'0 premières solutions sont particularisées.

En parlant de ce système fondamental et par des raisonnements analogues aux précédents, on pourra former des systèmes fondamentaux de plus en plus particuliers, jusqu'à arriver à la réalisation complète du théorème énoncé au n° 67.

75. Nous devons maintenant traduire les théorèmes démontrés jusqu'ici en supposant le point initial situé à l'infini.

Reprenons les équations (A) et remplaçons-y la variable x par la variable — , >

de sorte que, quand x devient infini, x' devient nul. Il suffira alors d'étudier les fonctions y dans le domaine de l'origine x' — o. On aura

dy dy d.v' dx dx1 dx

et les équations (A) deviendront

ây

dx'

, dy dx'

•y G L. SAUVAGE.

en appelant a' ce que devient une fonction a divisée par x'2, changée de signe et exprimée au moyen de la variable x'.

Le système (A') étant de la même forme que le système (A), on pourra lui appliquer tous les théorèmes démontrés précédemment. Le point x' = o pourra d'ailleurs être un point singulier ou non singulier des fonctions a'.

76. Si l'on considère l'équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n, on sait qu'on peut en faire l'étude au moyen d'un système d'équations linéaires et homogènes équivalent.

On obtient alors les théorèmes suivants qu'il suffit d'énoncer.

I. Si la variable indépendante revient à sa valeur initiale, les nouvelles valeurs Y, des intégrales d'un système fondamental sont liées aux anciennes yi par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme

(66) Y,= a,;Xi ■+-. . .-i-cmy,, (£= i, a, . . ., re) (n°61).