Démontrons d'abord le théorème suivant
Le déterminant D d'un système de solutions quelconques satisfait à la relation
c/logD = (au -+- n22 + • • •-!- ci,,,,,) dx. On a
Or
dD
dx ~ 2*
rflu-D
i du ,
dyu dx
dyia
dx
y un
Mais on a en général
dyj dx
anyï-
On a donc
yu ■■■
dyn dx
ym ■••
dyin
On a, par
suite,
yl*
anym-^-
■ai„y,n ■ ainynn
dD .
d'où
c'est-à-dire enfin
i dD D dx
dlogT>= ("Y"!!)
dx.
9. Si l'on intègre l'équation précédente, on pourra mettre le déterminant D sous la forme
C étant une constante.
l4 I" SAUVAGE.
De là des conséquences remarquables. Si l'on se donne des valeurs initiales des n2 fonctions y, telles que le déterminant D ne soit pas nul, la constante C ne sera pas nulle, et le déterminant D restera différent de zéro tant que la variable n'atteindra pas un point singulier du plan des x; or, nous avons écarté les points singuliers dans la définition des fonctions y. Donc, il existe une infinité de systèmes fondamentaux de solutions.
10. Toute solution du système d'équations (A) peut s'obtenir par des combinaisons linéaires et homogènes à coefficients constants des éléments d'un système fondamental de solutions.
En effet, soit un système quelconque de solutions
yu, yij- ■••- y ni (y' = i,a, • ••,»)•
Posons
Yi = Clyn-frC2yiî-+-...-frCnyln (1 = 1, 2, . .., n),
Ci, Co, . . . , C„ étant des constantes arbitraires; il est facile de vérifier que les fonctions Y constituent une solution du système (A).
Toute solution du système (A) peut, réciproquement, se mettre sous la forme précédente, pourvu que le système de solutions d'où l'on part soit fondamental.
En effet, soit
yi,n+l, >'2,«+l, ■■■, J'n.n+l
une solution quelconque du système d'équations (A). Cherchons à déterminer des fonctions C| , C2, . . ., C«, X, telles que l'on ait
C1JC1+ C»yl2-h. . .-hlyi,n+i= o (z' = i,2, ....n).
On prendra \ arbitrairement et l'on aura à résoudre un système à n inconnues Ci, C2, • • • , C„. Ce système est du premier degré ; le déterminant des coefficients des inconnues est différent de zéro si le système de solutions yi] est fondamental.
Les inconnues Ci, C2, . . . , Cn seront donc des fonctions déterminées de \.
C ■ Je dis que les rapports —■ se réduisent tous à des constantes. En effet, en dérivant les équation s précédentes, on a
dG, dC„ r dk „ dya r dy,-„ . dyj,„+\
•'" d.r "' ^'" dx ^''"+ldx ' dx '" " dx dx
Éliminons -j^- au moyen des équations du système proposé.
iNous aurons
°i ~^zr -+-■■• + w —7— -+- a
Ci ( a/iJKl 1 -H: • • + Cinyn\) -+- C2 ( «fl^u + ■ ■ • + a,iltyn.2 )
+ G„(a,-ij'i„ + . . .4- ainyan) -+- X(«/i7i,«+i + • • .+ a/«/»,«+i) = «(i(G|jKn-i-.. .+ G„jki„+Xé/1,„-i-1)+...
h- «/«(Gi^u-h -i- Cnyatt-hly,hn+i) = o.
Nous aurons donc en même temps les deux systèmes d'équations
Ciyu-h...+ X yi,n+i = o, (j* = i, 2, ..., n)
tC, __ rfX
rn +••■-+- -r- yi,,i+i = o. (t = 1,2, ...,«)
Ces deux équations déterminent les mêmes valeurs proportionnelles des inconnues, en prenant pour inconnues d'une part C(, C2, . • ., C«, "k et, d'autre part, rfC(, rfC2, . . ., rfC« et dk; il faut donc que l'on ait
ou encore
ou enfin
dCi dCn
■=- = consL
Si donc on prend X égal à — i , on aura les relations
(9) yt,n+l= Giyil H-... -H C„,Xj„ (t= 1,2, ...,»),
linéaires, homogènes et à coefficients constants qu'il s'agissait d'obtenir.
11. La démonstration du théorème précédent entraîne les corollaires suivants :
a. Si un système de solutions n'est pas fondamental, il existe entre ses
éléments des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la
forme
C\yi\ -t- ... -+- C„yi,t = o ( i = i , 2, . . . , n ).
13. Entre les éléments de (n-+~ 1) solutions du système (A) il existe toujours
un système de relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme
C,//! ■+- . . .+ C„-n Yin+l = O ( £ = 1 , 2, . . . , 71 -t- l).
12. Si Von substitue aux éléments d'un système fondamental de solutions d'autres éléments déterminés par les relations linéaires à coefficients constants
Yy = CjO'il + • • • ■+- CjnVin ( i,j = I, 2, . . . , 71),
on obtient un nouveau système fondamental à condition que le déterminant des constantes de la substitution soit différent de zéro.
En effet, soient P le déterminant des fonctions Y, Q celui des fonctions y, R celui des constantes, on a identiquement
