DE LA FORME ANALYTIQUE DES ÉLÉMENTS DES SOLUTIONS
77. On sait, depuis Euler, intégrer complètement les équations et les systèmes linéaires et homogènes à coefficients constants.
Considérons d'abord une équation linéaire, homogène et à coefficients constants de la forme
dn y d"~% y
dx" 1 dx"~i ' J
Cette équation peut être remplacée par le système équivalent
[ dy, (68)
dx
/Jl^l-f-... + pnyn= o,
On intègre ce système en posant
yi<= ckerx,
et en déterminant les inconnues par les conditions
I C, r -H/),C!-(-. . .-+- pncn= o, I (■/,/■= C/,,.
Ces équations (69) entraînent la relation
'" + Pi Pi Pi
L'équation F(r) = o est appelée Y équation caractéristique. Si l'on élimine directement les inconnues C, on a
G%r = Ci, C3/-2= C,/- = G,,
et, par suite de la première équation (69),
F(r) = r"-f- pir"~1^-. . .-+- /?„= o.
Les diviseurs élémentaires du déterminant F(r) se confondant dans le cas des équations d'ordre n avec les diviseurs linéaires du polynôme F(/*) ('), il suffit de résoudre l'équation algébrique F(/-) = o de degré n pour connaître les diviseurs élémentaires du déterminant F(r).
Soit (;• — /•, )e> un diviseur élémentaire ou linéaire quelconque du déterminant F(/-). Ce déterminant F(/-) et ses dérivées successives admettront (r — /, ) comme diviseur jusqu'aux dérivées de l'ordre eK exclusivement. En conséquence, si l'on pose
. . d"y dn~lY
et si l'on considère l'équation
o(Cc«)= Cer*F(r), on voit que l'on aura successivement
o(Cer<*) = o,
On en conclut que chaque diviseur élémentaire (/• — r, )e< fournit e, solutions, et, par suite, qu'on peut former n solutions des équations (68), ou encore n intégrales de l'équation (67).
Ces intégrales sont linéairement indépendantes. Car supposons que l'on ait identiquement
«ie''ix-f- bi -r— (er'x) -+-. . .-h li T r(er,x) -+■ a, en* ^ ... = o.
On or'i- »
Remarquons que l'on a en général
ai*2'
(') Voir Chapitre I, n° 22.
L'identité précédente reviendrait donc à la suivante
er<x(al^bix-i-. . . 4- f, #«.-») -+■ e^aj-K ..)+...= o, ou encore à l'équation
— (a, -+- b,.r -h. . .-+- fta?ei-i) = e(r»-ri)*(a! + . . .)+
Or le premier membre de cette équation s'annulerait pour un nombre fini de valeurs, le second aurait au contraire une infinité de racines, puisque les exponentielles ne peuvent disparaître identiquement. L'identité est impossible.
