Considérons au même point de vue les équations dyi

dx

= a«i y\ -+- ■ • ■ ■+■ a in y a

(( = 1,2, . ... Il),

où l'on suppose constants les coefficients a. On trouve des solutions de ce système en posant

(71) yt= Gter*,

et en déterminant les inconnues /• et C;- par les équations

(72) et

(««« — r)Cn = o.

L'équation F(/-) = o est dite encore 1: équation caractéristique.

La résolution de l'équation algébrique F(?-) = o de degré n ne fournit pas, comme dans le cas précédent, les diviseurs élémentaires du déterminant F(/-). Il y a lieu de les chercher, et ils peuvent être distincts des diviseurs linéaires.

Sans entrer dans le détail du calcul qui résultera de paragraphes plus éloignés, on peut remarquer que toutes les solutions auront la forme de polynômes en cr'x, . .., ert*, dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes en x, et, par suite, le point 00 est pour les éléments des solutions un point singulier de même nature que pour les fonctions erx. C'est-à-dire que, dans le domaine du point 00, les solutions seront composées d'éléments uniformes, et continus en tous les points, sauf au point x = 00, où chaque élément de solution sera de la nature de era'

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Posons

le système (A) deviendra

dyi

(A') ^ = (a,iri + ...+ „i,,r„),

et l'on voit qu'au point x = 00, ou a;'= o, tous les coefficients des équations (A') cessent d'être continus.

Pour étudier l'intégration complète du système (A), nous ferons un changement de variable indépendante qui ramènera le système (A) à une forme plus importante que nous étudierons plus loin avec tous les détails nécessaires.

Nous poserons

et, par suite, Il vient alors

et le système (A) deviendra

e^ dx = dz = z dx.

dy dy dz dy

dx dz dx dz

(A ) .>■ </r =anyi-h...-haillyn,

en rétablissant la lettre x pour désigner la variable indépendante.

C'est sous la forme (A") et d'une manière tout à fait générale, c'est-à-dire en ne supposant plus que les coefficients a soient des constantes, que nous intégrerons le système (A).

Ajoutons une remarque. Le changement de variable ex= z donne bien z comme fonction uniforme de x ; mais on a x = log-s, de sorte que x n'est pas uniforme en z dans toute région du plan qui renferme le point ^ = oou le point s = ce.