Nous considérerons maintenant le système le plus général

dy; (A) -^ = anyi-t-...+ aiy,l,

en supposant que les coefficients « soient uniformes dans le domaine de l'origine. Rappelons que l'origine est un point quelconque. Nous supposerons, en outre, que le point x = o est un point singulier ou non des coefficients a.

Soit R(w) le déterminant qui résulte de la considération des éléments d'un système fondamental de solutions, quand la variable x fait le tour de l'origine.

Soit

(co/,— tafk (-£ = 1,2 ,p)

un diviseur élémentaire quelconque de R(oj). On peut ramener le déterminant R(«) à une forme canonique R'(w), comme on l'a vu dans la théorie des diviseurs élémentaires (Chapitre II, n° 53). Cette forme étant unique, la méthode de recherche d'un système spécial de solution des équations (A) doit conduire précisément aux solutions qui correspondent à la forme canonique R'(to). Nous avons exposé cette méthode pratique aux nos 68 et suivants du Chapitre III.

Nous voulons maintenant étudier directement le système spécial de solutions des équations (A). Nous considérerons ce système comme étant seul de son espèce, quoiqu'il reste dans sa construction une certaine indétermination. En effet, si deux solutions, par exemple, satisfont aux relations

Yj=(.oj'(- et Y] ■= io y],

on peut, dans certains cas, les remplacer par des comhinaisons

aYi+bVi, a'Yi+b'Y';,

pourvu que le déterminant ab' — ba soit différent de zéro. Abstraction faite de ces modifications possibles qui n'ont aucune importance dans nos théories, nous pouvons dire que le système spécial de solutions est unique. Ce système spécial est caractérisé par les équations suivantes.

Soit (ti)/, — u)e* un diviseur élémentaire quelconque du déterminant R(w) ou de son équivalent R'(w), il y a e/, solutions satisfaisant aux relations

Yf, = u/,yf, -hj''l\. ( ( i = i , 2, ■ ■ • , i •)

et les n solutions dont les éléments entrent dans ces équations forment un système fondamental.

80. Pour plus de simplicité, considérons un groupe de relations de la forme

Posons

de sorte que u augmente de i quand la variable çc fait le tour de l'origine.

Soit /(m) une fonction entière du degré m — i formée arbitrairement avec a et des coefficients A0, A,, ..., A.m, uniformes dans le domaine de l'origine. Définissons enfin /• par la relation

(76) e!iïrt/=I = w,

et appelons A*/(w) la différence d'ordre k de /(u) par rapport à l'accroissesement 1 de u.

On pourra donner aux fonctions y,, y2, • • -, ym les formes

ym = xrf(u), ym-,= x'wif(u),

yl = x'u>'"-l\m^if(u).

On voit que A„,, f(u) = 1.2 . . . (m — i)A7B( ne contient pas u et cpie yx est la seule fonction^ qui ne contienne pas de logarithmes.

D'abord les expressions précédentes satisfont aux relations imposées. En effet, on a

Y,„w,= a?',io*+»A*/(a ■+- 1) = x'-M'^'[\,,f(u) + A,,+1 /(a )] = 107,,,-/, + y,„.*,.

Ensuite on peut toujours donner aux fonctions ri, •••, J'm 'es formes précédentes. En effet, y\X~r est une fonction uniforme dans le domaine de l'origine, et l'on peut la représenter par io'"-1 A,„, J\u)\ on lire de là

y1=a?'-ti>'«-iA,„i/(a). On peut poser ensuite

d'où

Yo = tu'"— ixrZ.

Si l'on veut satisfaire à la relation

Y,= myi-hyt, on posera

En représentant par[cp]'ce que devient une expression es, quand on tourne autour de l'origine, et remarquant que l'on a

on voit que l'on a

s — A,„2y(«) est donc une fonction uniforme de x. Dans le domaine de l'origine, on peut poser simplement

en réunissant celte fonction uniforme au terme indépendant de Am i/(u). On a ainsi

r,= to'»-°-.r'-A,„, /(;/).

On remontera ainsi de proche en proche.

La suite des expressions précédentes montre que l'élément ym, qui contient la plus haute puissance de log.r, renferme les m fonctions de x, uniformes dans le domaine de l'origine, qui entrent dans le groupe des expressions y, , . . ., y,„.

Les relations entre les coefficients des puissances de il, dans les différents éléments du groupe, sont mises en évidence par la forme des expressions précédentes. Le nombre de ces coefficients est

mi, m -t- i )

11 y en a m arbitraires. On peut donc dire que ces éléments sont liés entre eux par

relations distinctes.

81. Appliquons les résultats précédents aux fonctions y qui satisfont aux relations (74)-

Nous aurons, pour les éléments des solutions du système fondamental spécial, les formes analytiques suivantes, valables dans le domaine de l'origine

yfl = xru>e*-1 An i ff' (u).