Dans les relations (77), posons

et, par suite,

\oex loax'

iiz\/ — 1 1- / — r

Nous aurons, en général,

ou encore

y,»-k= a;'-''to*A/,./( u).

Nous poserons

Nous en concluons que, dans le domaine de l'infini, nous devrons, dans les formules (78), changer les signes de u et de /•.

83. Nous terminerons ces études d'intégration par les séries, en montrant que les éléments des solutions du système général

(BJ x //J- = «/l J'i -+-.-- "f- a/nXa ('=1,2 11)

jouissent de propriétés spéciales qui les rapprochent des fonctions algébriques. Nous venons de voir que les soLutions d'un système (A) quelconque s'obtiennent par des combinaisons linéaires d'expressions de la forme

arr(A0-t- A, log;r-t-. . .+ A/, log*^).

Si les parenthèses sont infinies d'ordre fini pour x = 0, c'est-à-dire si l'on peut trouver un nombre entier a tel que le produit

r*(A0-t- A^ogr-t-. ..-+-kk\o^x)

soit nul pour x = o, on dit, d'après M. Thomé, que, quel que soit /•, l'expression

3"(A0H-. . . -1- A>tlog*.z)

est régulière au point x = o. Il suffit évidemment que les fonctions A ne renferment dans leurs développements qu'un nombre fini de puissances négatives x.

Toute combinaison linéaire et homogène à coefficients constants d'expressions régulières étant aussi appelée régulière, nous allons montrer que tous les éléments des solutions du système (B) sont des expressions régulières, quand les coefficients a sont holomorphes dans le domaine de l'origine.

84. Voici, d'après M. Horn, la manière d'intégrer le système (B), c'est-à-dire le système

(79) x-^="nri + ...+ ailly,l (1 = 1,2, ..:,*),

on I on a

( 80 ) n,j = a0ij ■+- xa\j +.'..,

dans le domaine de l'origine.

Soient

(Si) yt= xr(f,- = xr(o<! -+- x~~\ -i-. . .) (j=i,2, .-,«)

les éléments d'une solution du système (79). Nous avons déjà vu qu'il existe une telle solution, et que les séries es,- sont uniformément convergentes dans un certain domaine de l'origine (Chapitre I, n° 4).

En portant les valeurs (81) dans les équations (79), on a les relations en nombre infini

(°0 2(«&-»-3iy)?J = o,

Toutes les valeurs initiales es? des séries es, ne sont pas nulles. Donc, d'après les équations (82 a), r doit être l'une des racines de l'équation caractéristique

F('-) = Ky-'-5/yl = o.

Or, laissons de côté précisément les conditions (82a); nous pourrons considérer dans toutes les autres la lettre /'comme une arbitraire, et nous aurons, par un calcul de proche en proche,

V' iiF(c + i)F(/-+î)...F(r + /c) -J'

expression dans laquelle #est une fonction entière des lettres r, a°-, «,'y, ..., air Le dénominateur commun ne peut s'annuler que si r -+- 1 , r + 2, ... ou r -+- k

satisfait à un moment donné à l'équation caractéristique F(/) = o.

Appelons /',, 7'2, • • . , '« les n racines, distinctes ou non, de cette équation.

On aura à ce moment

r -t- k' = ra (a = 1 , 2, . . . , n ; k' = 1 , 2, . . . , k).

Mais k croît indéfiniment dans la suite des relations (8a). Il suffit donc d'écrire

r = ra — k (a = r, 2, . . ., n; k = 1, 2, . . . , 00).

On voit ainsi que les tp* seront finis, ou infinis d'un ordre varié. Fixons maintenant les valeurs des indéterminées /•, 0°, ..., ta' d'après les règles suivantes :

1" Soit un groupe

'"«,. 'a., •■■, ra^

de p. racines de l'équation caractéristique, telles que deux quelconques de ces racines diffèrent d'un nombre entier.

Il peut y avoir d'autres groupes pareils à celui-là.

Nous supposerons que la suite de ces valeurs ne va pas en croissant, et nous

poserons

(Si) ra::.=.^:lf:!;

I >'oe, = ''a. +^2.

d2, d3, . . ., dv, étant des nombres entiers positifs. Ces relations peuvent encore s'écrire

\ ''a = r~ -+- d-, -4- d3 -K . . + tfM.i -1- c?u..

Si les nombres /" sont imaginaires, c'est sur la partie réelle que porte le calcul.

La conséquence que nous avons en vue est la suivante. Toutes les expressions

F(r + rfj,),

F^r-hd^-i-hd^),

F(;- + df! + ...+ (ifll,+ («ll) s'annulent pour

que nous représenterons seulement par ra.

a" Nous prendrons les arbitraires cp? dont les valeurs proportionnelles interviennent seules dans le calcul, avec un facteur /■ — ra élevé à une puissance nécessaire et suffisante pour que toutes les expressions œ* restent finies et ne s'annulent pas toutes pour /• = i-%.

3" Enfin nous donnerons à r une des valeurs r{, 7-2, ..., ;•„ qui satisfont à l'équation caractéristique, el nous choisirons les quantités cp° de manière à satisfaire aux équations (82a).

Il est évident que les expressions ^,(81) ainsi déterminées satisferont aux équations (79), et que les séries cd,- seront absolument convergentes dans un certain domaine de l'origine, comme au n° 4 du Chapitre I.

Voici maintenant les résultats généraux du calcul ainsi préparé. Représentons par

(85) fi(y, .»•„) = — ^-^ + 2 a''y' («'■./ = '. 2. •••,«)

les expressions qni, égalées à zéro, donnent les équations (79).

En supposant d'abord les lettres /• et tp° indéterminées, nous aurons identiquement

(86) f,(xr<?u ...,xrytl) = xr^2i(a°tJ—rhj)tf.

Choisissons es", . . ., ts°, de sorte qu'aucune des quantités œ* ne devienne infinie pour /• = /«, et en outre de manière que

fi(xrou .. ., J-'--i„)

s'annule h fois pour /■ = /'a, h étant un nombre entier quelconque. Nous devons avoir

(87) [S£L=,K)=0 (X = o,iia>...,A-i).

Mais

Nous voyons, par suite, que l'on peut former les h solutions suivantes du système (79)

y'-l dr* J „.=,«) ou

±1 lon-X-i^ -+- tp^log^a? (X = o, 1, 2, ..., h — 1 ).

Les parenthèses de ces expressions, renfermant les dérivées de séries uniformément convergentes, auront pour les puissances de loga; des coefficients, euxmêmes uniformément convergents.

C'est avec ce programme général de calcul que nous allons construire un système fondamental de n solutions du système (79). Nous emploierons maintenant les notations de M. Horn, en les modifiant très légèrement.