Nous préparerons d'abord le système différentiel

l A.ap = aap-i-xa'a, a-hx-a'^-h. . ..

Multiplions ces équations par des constantes encore indéterminées uu a.,, ..., u„, et ajoutons les résultats. Nous aurons une équation de la forme

d V Uaya

(9°) x — î-j — = yAri«ïK«.

et ai m.,* *P x- P

Ou peut ramener les deux formes bilinéaires

2u "a Vu. et V a°pMaj'p

aux deux /oyws canoniques {Théorie des diviseurs élémentaires)

V] P<x*a « V 6âppa^.

* ap

Les substitutions employées sont de la forme ou encore

"P = ^] ^ap "a, -p = ^ ^«pra,

à cause de la forme de l'expression

Or, les v étant indéterminés, ainsi que les m, on pourra transformer le système (79) en un autre

<9,) *Sr-2p.e*s (.,? = .,» ,„,,

où l'on aura

p*fl = ^ A^jfXaAjip = pap + «^ip + *2Kp + -

Considérons maintenant l'équation caractéristique du nouveau système différentiel

Pi/») = ! <zap — /?8ap| = (pi—p). -.(Pm—p) = o.

Soit/) — /?a un diviseur élémentaire simple de P(/>), on aura

/)ju = /)](, /)2|3 = o ((3 = r,...,a — L, a + I, ..., m),

et à ce diviseur correspondra l'équation

Supposons ensuite que l'on ait

P* = Pa." = • • • = /?aM = Pu

et que (/> — p0)e soit un diviseur multiple d'ordre e de P(/>), nous aurons

[ Pcf<x'=Po, Pa»a"=po, ••-, PaMaM = p<„

I />«'a'=I, Pam a" = 1 , ■ • ■ , />aM a<«-0 = ' .

et tous les autres />ap seront nuls. Donc, au diviseur considéré correspondront les équations

; dz.j..

1 * -^ =Ptza. +...,

F dz%.i

x —, — = p0 za(c) -+- ^a(c-o + . . . ; l d,r

les parties des seconds membres remplacées par des points sont des expressions telles que

■*■ ^] P'*$ ~p -+- *2 ^ Pip ap -h . . . .

fi P

Cette préparation des équations a pour résultat : 1" de simplifier les calculs qu'on aura à faire plus loin ; 20 de préciser le sens des indices 1,2, . . . , m qu'on attribue aux racines de l'équation caractéristique. Nous considérerons plus loin des groupes de quantités

Pl„ PI,, ■■■, />>.,,

dont la signification est dès maintenant précisée.