Nous considérerons plusieurs cas
Premier cas. — /?0 étant une racine de l'équation caractéristique P(/>) = o fournit r diviseurs élémentaires simples
P-Pl (X = X4, X2, ..., X,.)
du déterminant P(p). D'ailleurs, entre p0 et toute autre racine qui ne lui serait pas égale, il n existe pas de différence entière.
Soit py une quelconque des racines égales à p0, nous pouvons poser
~a = xP^{x) = xP[{t^),-\- a-(;a), + ^-(Zz >.H- ■••] (> = i, 2, • .., n)
el
(94) (&).= ex, (Ç«).= o (a^X),
£X étant une constante, ou une fonction entière de p qui ne s'annule pas pour
p=Po-
Soient Ça les séries calculées dans ces conditions, mais où p reste indéterminé, on aura, à cause des équations (86) et (o,3),
( Px(arPÇi, ...,a?PÇ„)= - ex(/> —pa)osi',
I Pa(x/'Ç„ ..., »/'?„) = o (a^X).
et, par suite, si l'on pose
Çâ(*)X=[Ça(*)x][/>=/>.)i
les éléments
(96) zl = xi'^(xy,.
constitueront une solution des équations (79).
Cette solution est régulière. De plus, pour x = o, la valeur initiale de £>,(•£)). étant £>,, c'est-à-dire une valeur qui n'est pas nulle, cette solution appartient à l'exposa fit p0.
En général, en employant le langage de M. Fuchs, nous disons que toute solution des équations (79) de la forme
yi = VrP(0,- -i- r,,- logx -H. . .-t- <p/ \og/lx)
est de forme simplifiée, et appartient à l'exposant p, lorsque toutes les fonctions 9, rn . . . , cp sont holomorphes dans le domaine de l'origine, et que l'une d'elles au moins ne s'annule pas pour x = o.
L'équation (96) fournit r solutions appartenant à l'exposant /?0, lorsqu'on remplace ~k par les indices successifs
f)2 L. SAUVAGE.
Ces ;• solutions sont linéairement indépendantes, car, si l'on avait
on en déduirait
et, pour .r = o,
Cxsx= o (X = X,. X,.),
ce qui est impossible, à moins que les constantes C> ne soient toutes nulles.
Deuxième cas. — Les racines p;?, ..., p\" fournissent, d'une part, des groupes de /•", /•', . . . , /•" racines égales entre elles
P,° = P\i = • • • = P\'r. = />>.» = Po,
p,:; = Pr, = ■ ■ ■=/i>.;,.„ = P\» = Pn,
■/, d'autre part ,
r° diviseurs élémentaires simples p — p0 de V(p), ''' » P—Pu
D'ailleurs, entre />„, p,, . . . , pn et toute autre racine qui ne soit égale à aucune d'elles, il n'existe pas de différence entière. Enfin les différences
P<s —p\ — du
Pn-\—Pn= da
sont des nombres entiers positifs.
Considérons un groupe quelconque correspondant à l'indice i, et posons
(97) (.&<). = Wip—PiY, (?*). = o (a^V, X«=X\;),|;...;Xj.O;
nous aurons, en vertu des équations (86) et (93),
PxK^Si. .... xpï,m) = — v>{p-Pi)i+lxP,
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. q3
En effet., le déterminant P(/j) a la forme spéciale
Pii—p
et l'expression qui entre dans les équations (86) se réduit, à cause des hypothèses (97), au seul terme
ou encore a
Les ï'-f- 1 expressions
(Pïi~p)^<(p—p,y
— ev(p—piy+i.
"" L àp" \p
seront des solutions régulières du système différentiel (79).
Mais les formules (82.) (excepté la première) conduisent à l'expression
(to,=
Q<» = 0 -Po).-.(p-pn)
et où Ç(/>) estime fraction rationnelle en/? ne devenant pas infinie pour p = p0. Pi, •• -, Pu-
Par suite, pour p =/?,,
(Ça)oi-- •, (?a)rfj-i s'annulent au degré î* par rapport à />, (Ca)rfi) • • -, (?a\/,-t-rf,-,-i s'annulent au degré i — 1
(Ç»)rf,+...+f/..,..:,(Ç2)rf,-l-...+rf1 i s'annulent au degré 1. On peut alors poser
Mais, la valeur initiale de £[i(x))< étant égale à
L (àpY jpi
n'est pas nulle. On en conclut que, dans les / + i expressions (98), la dernière
ou simplement
appartient à l'exposant pi.
Cette solution est de la forme
4' = a?"'Çj((»)x' + ( ' ) *'''-' Cir1 (*)>.< '«g» +■ ■ ■
-+■(•' ) xP<Q(r)ii\og!-lT + x>'<'Ç° (>)>,• log''#.
Ce sera la seule que nous considérerons pour la valeur À'.
On a donc le Tableau suivant de solutions, dans le développement desquelles tous les termes sont séparément de forme simplifiée,
' 4° = xi' "£x( ■'?)')."-*- xPH-tÇ'ôr1 (a?)X" 'og^ ■+-•..+ a?p» ÇJ (af)X" Iog"ar.
Dans ce Tableau, il y a
solutions.
Les i séries Ç£(.r)x' qui entrent dans a„ peuvent s'annuler de différentes façons, de sorte que tout ou partie des logarithmes peuvent disparaître.
Les solutions (99) sont linéairement indépendantes. Car, si l'on avait la relation
on en déduirait
22Cx'*WÇ"'(*)xl=!0-
En divisant par .r-P», et en faisant ensuite x = o, on aurait
2cXneXn = o (>" = >-',', ...,X'/...),
ce qui est impossible si les C>/< ne sont pas tous nuls. De même les Gv-' seront tous nuls, etc.
Troisième cas. — La racine p0 de V équation caractéristique fournit les diviseurs élémentaires
(p—po)ei- , (p—Po)e\
du déterminant P(p). D'ailleurs, entre pB et toute racine qui ne lui serait pas égale, il n'existe pas de différence entière.
Au diviseur élémentaire (p — Po)ei correspondent par exemple les équations / «**«-
(100) / dx
F dz^n) I dx
Posons, en conséquence,
(Ça')o = z\(p—pay>. ', (Ça")o =tl(p—Po)e'>-~',
ex étant une constante, et prenons nulles toutes les autres quantités (£«)„• Soient L,a = Ça(#)x les séries déterminées dans ces conditions. Nous aurons les relations
( Pa'(a*Çi, • • -, a>PÇ,m)= - sk(j> -PoF<- (102)
( Pa(afÇi, ..,tfW = » («?*«')■ En effet, on a, par exemple, identiquement
(Po-p)(W)„+(ï*\=o.
Posons alors
L — ^ — J/Jo =w*k>
(io3) < L / J'°
Les seconda membres ne seront pas tous nuls pour x = 0. En effet, d'après
f)6 L. SAUVAGE.
les formules (101),
se réduisent à £>. pour x = o.
En conséquence, on peut former le groupe de e\ solutions
| s*'1 =.r/A,[r'((.ri>^^(.r))ilogr],
[ z\*\-l = xP>\l'\-l(x)\+(eX l\ ^-2(a7)xloga;+...+r°(a")xIogn-iarl,
appartenant toutes à l'exposant y>0.
On remarquera que la dernière relation fait connaître toutes les autres, puisqu'elle renferme tous leurs coefficients.
Li :s solutions (io4) sont linéairement indépendantes; car, si l'on avait la relation
en divisant par xP« les diverses équations qui s'obtiennent en égalant à zéro les
coefficients des diverses puissances de log#, on reconnaîtrait qu'en faisant
x = o on doit avoir
Quatrième cas. — C'est le cas général.
Les racines p0, PiT---, p„ de V équation caractéristique fournissent les diviseurs élémentaires
(P —Po)e'° Ù° = M: ■ ••> ^"0.
D'ailleurs, entre ces racines et toute autre racine qui ne serait pas égale à l'une d'elles, il n'existe pas de différence entière. Enfin les différences
Pu —p\ = du
Pn-i — pn = dn
sont des nombres entiers positifs, de sorte que l'on a
( P«-l=Pn+dn,
\ p0 = p,i -+- dn -+- . . . -1- di . Soient a,, a2, ..., a,..,- les indices correspondant au diviseur élémentaire
SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGENES. 97
(p — pi)6'1' dans le système d'équations différentielles en z. Posons
(?«,). = ^(p-pi)e°+-+e'"+eV-1,
( Ça,). = V.i(P -pi)e°+"+ei-'+eV-*, (.06)
I (ç«ei,-t)o = svCp -Pty*+..<+*-+*,
\ (çïe,,)0 =^(p-Jp<r+-+e'-',
où E),i est une constante ou une fonction de /? qui ne s'annule pas pour/j = />j. On prend nuls tous les autres (Ça)0- Soient Ça les séries Ça(;c)v déterminées dans ces conditions, il vient
Pa,(ar''Çi, ••■, *'Ç„) = — EX'G? — pt)e°+'-+ei~t+e\i &p, Pa(#"Çi, •••, xPÇ,„) = o (a 5* a,).
Si l'on prend pour eA le plus grand des nombres ex*, et si l'on pose
on obtiendra les solutions
l'->= e°-t-.. .+ ei-i, ~a L iàp)V-' \„,
Ensuite les formules générales (82) (excepté la première) donneront
(y \ kx?Ql**(p)-(p-pi)"-1 ,
où
q (/>) = (/> - po y° (p —pi y... (p -py,
et où Q(p) est une fonction rationnelle de p, qui ne s'annule pas pour/) =pQ,
Par conséquent, pour p—p^
(Ça)o,--- (Ça)rf,- 1 s'annulent au degré £'— ',
(Ça)rf,-,--- (Ça)rfH-rf(-i-i » #-",
(Ça )</,+... +rfs, . .., (Ça)rf,-i-...+rf.-i » J1,
(Ça)rf,+...+rf., -.., (Ça)rfi4-...+d,-i » /»,
et 1 on peut écrire
[^Wl,"""--"^'^-
où l'on a
L (àp)W }P,
Ho = p° =0,
H.1 /0 = pi = 0
JJL'-'— l'~- = p'-1 = O.
[XV - li-i = pv = o, On obtient ainsi ex> solutions
appartenant à l'exposant/),.
11 suffit de connaître la dernière de ces solutions pour connaître toutes les autres, c'est-à-dire celle qui correspond à jàx' = (\i — 1 . Pour avoir leurs expressions développées, posons
fo-iW
zè-J(af)X'=(lx^"I)ç{r1',^-1(*)3L'
r )>/ log j? -
zac»)x' =
\e'-' -1- ex-— 1/ ^
Ç°à"° 2(a?)X'log»
S.+ .^+il,I)«'0(*))L'log^'*.
Les valeurs initiales de
n'étant pas nulles, les logarithmes ne disparaîtront pas de ces formules. Les solutions cherchées sont enfin
z'a = xP«Za(x)i°,
z^' = xP>Za(x)\< + xP«Z^(x)\Aogevx,
z£= xPiZa(x)i*-i- xP'Z^(x)\'logei.'-x -4- xP«Z^(x)i'\oge'+er-x,
1 4"= XPn Za (X)V,
