I -t- aj/'n-iZJJ-1 (x)\» logex»a

-hxP* Z» (a;)x»Ioge'+--t-rt"^ (X° = X°, . . ., X°„; . . .; X«.= Xjl, . . ., X£,. Les degrés des fonctions Z en log.r sont respectivement

Les solutions précédentes sont linéairement indépendantes, comme on pourrait le démontrer par le même procédé qui a servi dans les autres cas.

87. Il ne reste plus à démontrer qu'une seule proposition : Toutes les solutions calculées forment un système fondamental.

Après ce qu'on a déjà vu, il suffit de faire voir qu'il ne peut exister aucun groupe de n relations identiques de la forme

(n3) CiA.;1 + ...-t-C[J.A,-1,. = o

entre des solutions formant V ensemble A/, appartenant à un exposant rt, des solutions formant l'ensemble A,-2, appartenant à V exposant >■<,, . .., des solutions formant V ensemble A;|X appartenant à l'exposant r^, les G étant d'ailleurs des constantes, et les nombres /',, r2, . ■ • , t'a n'ayant entre eux aucune différence entière, à moins que séparément on n'ait

Mais on sait que chacune de ces conditions particulières est impossible dans le problème d'intégration qui nous a occupé. Donc on pourra, après avoir démontré la proposition qu'on vient d'énoncer, affirmer que les solutions précédemment obtenues forment un système fondamental.

IOO L. SAUVAGE. — SYSTÈMES d'É(JUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES, ETC.

Faisons, en effet, tourner x autour de l'origine un nombre y. — i de fois, et désignons par

BJi', B£, ..., B^

les coefficients des plus hautes puissances de \ogx dans les groupements A,-,, . . ., A,,j,. Nous aurons

CiA^H-. . .H- Cjj.A/jj, =o,

(0,0] An -t-. . .-t- W(j.C[J.A,(i = o,

1C1A,-,-f....+ <o|i-,C|xA,v. = o, (10 = e*tW=î).

Eliminant les C entre ces équations, on aura une équation qu'on pourra ordonner en log.r et qui aura la forme

Pfi-t- Pftlogar-+- . .+ P,„log0.r = o.

Les coefficients de cette équation seront d'ailleurs uniformes et, comme cette équation étant algébrique en log.r ne peut admettre une infinité de racines, on devra avoir séparément

En particulier, on aura

ou encore

Comme aucun des facteurs de P,-^ n'est nul, l'hypothèse faite est inadmissible, et le théorème qu'on avait en vue est démontré.