Nous avons vu que les systèmes de la forme (13) ou

dyi ^

Xdx-=ZC'^

(Chap. IV, nos 83 et suivants), où les a sont des fonctions holomorphes dans le domaine de l'origine, ont toutes leurs solutions régulières, c'est-à-dire que les éléments de chaque solution demeurent finis dans le domaine de l'origine, quand on les a préalablement multipliés par une puissance convenable de x.

Les systèmes précédents ne sont pas les seuls à être ce que nous appellerons maintenant des systèmes réguliers. En effet, si l'on pose

yi = x'1' zi ( i = 1, 2, . . . , n),

et, par suite,

dn . (dzt lu \ dx \ dx x j '

le système différentiel (79) devient

dz,

au — hi «12

dx

x ~l ajA,-ArW~* -

dzn

«ni «12

dx

xhn— /l,+l "** ' xli„-/t1+l~- '

et, sous cette nouvelle forme, le système est encore régulier. Le système

qui ne rentre dans aucune des deux formes précédentes, est aussi régulier. Car, si l'on pose

-i=J'i-+-r2, z2 = yi — y2,

on aura, pour déterminer ;, et z-2, un système différentiel de la forme

dx \x ' ' ' ) "1~r \ x'1

dz, dx

et, si l'on remplace z2 par x-o, on obtiendra un système de la forme (B).

On voit donc qu'il y a une grande variété de systèmes réguliers. Nous allons montrer que l'on peut tous les rattacher à ceux d'entre eux qui ont la forme (79) ou (B), et que, pour cette raison, nous appellerons des systèmes réguliers canoniques.