Soit
dyi
(n5) ^- =auyl-*-...+ ai,lya (t = 1, 2, . . . , n)
un M^lcme d'équations différentielles linéaires et homogènes, telles que, dans le domaine de l'origine, les coefficients a soient uniformes et continus, sauf à l'origine, et que les éléments des solutions multipliés par des puissances convenables de x restent finis.
Pour le point x = 00, on multiplierait les éléments des solutions par des
puissances convenables de -• 1 x
Les solutions seront, comme nous allons le rappeler, formées de la manière suivante.
ÎNous avons vu au Chapitre IV (nos 80 et suivants) que l'on peut former un système fondamental de solutions du système (1 15), tel que ces solutions se partagent en groupes distincts dont les éléments prennent les formes
/ yn= ■^'''"'"-'i,,,-, /,-(«)> l Yi, = a?'"(om-2A„,2 fi(u),
I yi,m-/c= X'-Ujk \,,fi(u),
\ yim = Xr fi(u),
où l'on a
(117) w = einryf-^, (118; u = 7=>
2ïî/ — I
io3
où A/- f(u) représente la différence d'ordre k de f(u) par rapport à l'accroissement i de u, et enfin où m est une racine de l'équation fondamentale en to, fournissant un diviseur élémentaire de degré m.
On sait que u augmente de i quand x fait le tour de l'origine.
L'équation (i i-) ne détermine /• qu'à un nombre entier quelconque près.
Les polynômes en u, /,(«) fournissent des différences A* fi{u) qui sont ellesmêmes des polvnomes, etjvvi est la seule solution où n'entre pas forcément u, et par suite logx.
Ces principes étant rappelés, formons le système différentiel caractérisé par des relations de la forme (i 16), mais où les solutions sont régulières. On supposera que toutes les valeurs de /• sont déterminées de manière que les coefficients de u dans les polynômes //(«) soient holomorphes, ce qui sera suffisant pour In régularité.
Or, on sait qu'on a (Chap. III, n° 63)
Da,7 =
dyt,
dx
dx
y,ui
D étant le déterminant du système fondamental de solutions, et a,j un coefficient quelconque des équations (ii5). U résulte de la forme de ay que ce coefficient
est régulier comme les éléments y,j et leurs dérivées -V^ • On peut donc remplacer a,j par —£. dans les équations (i i 5), et dire que tous les systèmes réguliers ont la forme
("9) P = y^yj,
où les coefficients «,y sont holomorphes dans le domaine de l'origine. Etudions aussi le déterminant
Xn
y ni
Le système fondamental de solutions de la forme (i 16) peut être choisi tel que,
si l'on pose
yij=x'-Pij(logx),
P étant la caractéristique d'un polynôme, les coefficients de ce polynôme restent
Io4 L. SAUVAGE.
holomorphes dans le domaine de J'orJgine. Dans ces conditions on pourra poser
D = xIÎII(log.r),
II désignant aussi un polynôme à coefficients holomorphes. Si la variable x fait le tour de l'origine, on sait qu'on aura
