P = QR
Or Q et R sont, par hypothèse, différents de zéro et, par suite, P est différent de zéro, et les fonctions \ forment un système fondamental.
13. Substituons à des éléments d'un système fondamental d'autres éléments déterminés par les relations à coefficients constants
Y/i* = Oh/ai -h . . . -+- C/, gytl g
pour toutes les valeurs de h de i à n et pour toutes les valeurs de k de i à g\
Nous aurons le Tableau
Y>„" yi,e-+i
y™ ■■■ yna
Les éléments de ce Tableau forment encore un système fondamental de solutions si le déterminant de constantes \cgg\ de la substitution est différent de zéro. En effet, le déterminant des constantes peut s'écrire
clff
et la question est ramenée à la précédente.
14. Si l'on connaît une solution du système cV équations (A), on peut ramener V intégration du système à celle d'un autre système de même forme ayant une inconnue de moins.
Soient u,, u-2, • • ., u„ les éléments de la solution connue. Il peut en exister qui soient nuls. Admettons que les éléments us+\ , us+«, • • ■ , "« soient identiquement nuls, sans qu'il en soit de même pour les éléments u,, ui: . . ., us.
Substituons aux fonctions y, , y2, . . . , ys d'autres fonctions qt, q», . . . , qs déterminées par les relations
( 10) yh = uh q,t (A = I, 2, . . . , s).
Les s premières équations du système (A) deviendront
dqh du/,.
11,1 ~dx + q>' ~dx = "'""'tfi"1-- • ■+ ahsU.sqs-h a/llS+iys+t ■+-...+ a/,„yn,
ou encore
de/h ii\ I i du,,
«VA "î / i n u/, , u,
doc ii/, \ u/, dx } J u/, '
•+■ fl/l,s+I JK.s'H- 1 ■+■ • • -+- ahn y n {h— 1,7., .... S).
Remplaçons ys+k par qs+h, nous aurons un système en qu q.,, . . . , q„ de même forme que le système (A) et que nous écrirons
(■2) ■££ = *nqi + ...-hXinq,, (j' = i, 2 n).
Cela posé, remarquons que le système (12) admet la solution
'/sw. = 0 (£ = 1 , 2, . . . , n — s) ..
Nous devrons donc avoir, entre les coefficients a, les relations (i3) a-n -+- a/2 -+- • . . + a-u = o (i = 1, 2, . . ., n).
En tenant compte de ces. conditions, nous pouvons écrire les équations (1 2) sous la forme
dqi
('<)) lfo = a^(?2— <7i)H---.-l-a«(ys— ?i) -+- <*,•.,+, 9,4-1 -H. . .-i-a,-,,^,, (i'=l,2, ...,«).
Posons alors
(|5) z/i—qà—qi {h = 2, 3, ...,*),
(l6) **+*= 9,-f-ft £ = [, 2, . . ., 71 — f),
l8 L. SAUVAGE.
et retranchons la première équation des s — i suivantes. En conservant les n — s dernières équations (i4), nous obtiendrons un système de la forme
auquel il faudra joindre l'équation
On a en outre les relations
i diih h k ,, t
(ici) A/,/, = ï/,/,— -Mil = ahh- — -^- -—ai/, («= ->-, o, -..,«),
(20) A,m-/.-,s-+a = as+*,s+*= a.i+lc,s+k (* = i,2, ...,» — *),
(21) A;i|J,= a;,|i- «i,! = J Oah- J Si,, ((i^ A = 2,3, ..., s),
(■>■>.) A/1V= st/£V— alv= — ff/,v— — «iv (v = s -H 1, ...,«),
1 23 | AJ-rA-,a= *<+/.„u.= «j+*,|jl (P- = 2i 3, • ■ -, s),
Supposons que nous ayons obtenu une solution Ç2, Ci- • • • > s« du système (17). Nous pourrons tirer q, de l'équation (18) en effectuant une quadrature. Soit Q une intégrale de l'équation (18). Nous aurons
!qu= ï/<-t- Q,
qs+k = ç.s-t-/o
et nous en déduirons la solution
[7,= «iQ, (26) < J7, = "a(U+Q),
( 7»+/, = Çs+A-
du système (A).
Nous sommes donc ramenés à la résolution du système (17) de même forme que (A.), mais où le nombre des fonctions inconnues est diminué d'une unité.
lo. Étant donné un système fondamental de solutions du système (17), le système de solutions correspondant des équations (A) est aussi fondamental.
En effet, soit A le déterminant des solutions
Uj, hj, ■■•> Cnj (./ = •?.,...,»)
du système d'équations (17). Supposons A différent de zéro et, par suite, le système des solutions considérées fondamental.
L'équation (18) donne, pour chaque solution ;2y, . . ., £«/ des équations (17), une fonction Qy-, et l'on peut former un système de solutions des équations (A). Les éléments de ce système forment le Tableau
uu n2, . . . , us, o, . . . , o,
îtlQ„l, ïi2(?2»+Q«-l); •••, Ustfsn.+ Q.n.-l), ls+un •■■> ?"«•
Je dis que ce système est fondamental. En effet, s'il ne l'était pas, on pourrait établir entre ses éléments des relations à coefficients constants de la forme
Cij'tt-H.. ■+ Cnytn = o (1 — 1,1, .... /l):
on aurait d'abord
CiUi-h C2M1Q14-. . .-+- C„ UiQ„- 1 = o,
ou, puisque ti, n'est pas nul,
C,-+- C2Qi-h. . .-t- C„Q„, = o.
On aurait ensuite
C, KA + C2K/,(S;/i2-t- Qt) +...-(- C„ «,,(£/,„-(- Qn-l) = o,
ou, en tenant compte de la relation précédente, et en divisant par ith qui n'est pas nul, on aurait
On aurait enfin
Cïîf+*,ï + . . .-t- CnUs-Ht,,, = 0 (k = \,i. . .., n — s).
Ces deux derniers groupes de relations ne peuvent exister que si le système de solutions des équations (1 7) n'est pas fondamental, ce qui est contraire à l'hypothèse.
16. Nous avons maintenant l'indication d'une marche à suivre pour former un système fondamental de solutions des équations (A).
Soit une solution u{ , u2, ..., un du système (A). Formons un premier système auxiliaire d'équations ne renfermant que n — 1 inconnues.
Soit une solution p*, v3, . . ., vn de ce système. Au moyen de cette solution, passons à un deuxième système auxiliaire d'équations ne renfermant que n — 2 inconnues; au moj'en d'une solution de ce nouveau système, passons de même à un système ne renfermant que /; — 3 inconnues et continuons ainsi jusqu'à ce que nous arrivions à im dernier système réduit à une seule équation renfermant une seule inconnue. Soit
dx
cette équation. Elle donnera, par une quadrature,
w = Ce/™*,
où C est une constante arbitraire.
Cette valeur de «', n'étant pas identiquement nulle, forme à elle seule un système fondamental du dernier système auxiliaire. Elle fournira, après une intégration, une nouvelle solution de l'avant-dernier système auxiliaire. On aura alors deux solutions de ce système, et elles forment un système fondamental. Ce système fondamental permettra ensuite de former, après deux quadratures, deux solutions nouvelles du système auxiliaire précédent. Avec la solution déjà connue on aura trois solutions de ce système d'équalions et ces solutions formeront un système fondamental. En remontant ainsi de proche en proche on obtiendra finalement un système fondamental de solutions des équations (A).
Le nombre total des quadratures à effectuer dans la suite du calcul est
17. Il existe une relation simple entre les expressions des déterminants des systèmes fondamentaux dans les systèmes d'équations (A) et (17). Soit D un déterminant relatif au système (A) et soit A un déterminant relatif au système (17). En négligeant les facteurs constants, qui ne sont pas nuls, puisque D et A doivent être différents de zéro, on a
D = eJ v J ,
Or on a, d'après les équations (19) et (20),
» 1 <iuh uh
A/j/i = a/i/i -, aui — (/' = 2, o, . . ., s),
u/i dx U[
A.S+A-.J+A = <ls+k,s+/c (k = 1 , 2, ...,» — *).
SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGENES. On en conclut
Mais, d'après la relation (i3), on a
' 1 du2 1 das\
v«2 dx " ' us dx I
u< 1 dut
dis — = — alt-\ -j—
ii\ Ui dx
On a donc
A22-t-. . . -+- A,,,; = (ax
1 du.
t dus\ dx ~r~ us dx j
On aura, par suite,
i=/(?Air=e/(?"«)%-/;i^-
d'où
A = Dr1":'"»" .''.',
ou enfin
D = A. «J, Mj, .. ., U$.
18. Comme première conséquence, imaginons qu'on donne d'abord le déterminant D et qu'on dirige le calcul de manière à obtenir le déterminant A. On voit que D et A ne pourront s'annuler l'un sans l'autre, car le produit ut, . . ., us ne s'annulerait que si A était infini, c'est-à-dire si la variable x passait par un point singulier des coefficients A et, par suite, par un point singulier des coefficients a. On peut donc dire qu'à un déterminant D d'un système fondamental de solutions du système (A) on peut faire correspondre un déterminant A d'un système fondamental de solutions du système (17), et cette propriété peut évidemment s'étendre aux systèmes d'équations auxiliaires successifs.
19. Comme autre conséquence, on peut mettre le déterminant D sous la forme d'un produit de facteurs.
En effet, soient A,, A2, . . . , A„2 les déterminants des systèmes fondamentaux de solutions des équations auxiliaires successives. On a
D = A Ui, il-,, . . ., us, A = AiC,, v2, .. ., ty,
En multipliant membre à membre, on a
D = Ui u 2 . . . tis v ! . . . ty . . . <r.
20. L'étude d'une équation linéaire et homogène d'ordre n de la forme d"v d"-ly d"-"-y dy
se ramène à celle d'un système d'équations linéaires et homogènes. Posons, en effet,
et
Nous obtiendrons le système d'équations linéaires et homogènes
Réciproquement, le système (3o) se ramène à l'équation (27) par les substitutions inverses.
