D, = CD

où D, sera la nouvelle valeur de D, et C un déterminant de constantes. Donc, si l'on pose

le produit Dx~P sera uniforme dans le domaine de l'origine, et l'on pourra poser simplement

où W(x) sera holomorphe.

Cela suffit pour que les logarithmes disparaissent de n(logjc). Posons, en effet,

n(Iogar) =/)(,+/), log.r -h. . .-h p\\og^x,

p0, p,, . . . , pi représentant des fonctions holomorphes, et identifions les deux formes de D. Nous aurons

(120) a;P1Ir(a;) = x^^po-hpt log-r -t-, . .-\-p\ log^-r ). Faisons tourner la variable x autour de l'origine, nous aurons

e^f^x?W(x) = e^n</~' xR[p0-h pi(logx -h Q.iz^^î) -h . . .-t-pi(\ogx ■+■ %-ksJ— 7)X], ou, en faisant e-™^ ' =. C, ,

(121) C^rP^O) = CiXR[p0-h pi \ogx +...-+- p\\og~>-x ■+■ q0-h cp \ogx -H...-H q\-\ log^-'a?],

en appelant q0, qt, .. ., ^>,, des fonctions holomorphes. Des équations (i2o)et(i2i), on tire

C(pn-+-.. .-h p^log^x) = Ci(/?0 + . . . + pxl°g)'^-4-5'o-+-- ■.+ ÎX-1 log>--'a?).

C'est une équation algébrique en log.r, ce qui ne peut exister, car une telle équation aurait une infinité de racines distinctes. Il faut donc que ses coefficients

soient identiquement nuls, ce qui donnera d'abord

Puisque p\ n'est pas nul, il faut que l'on ait C — C,, et, par suite, o et R ne

diffèrent que par un nombre entier.

La relation

qo-h qi logx -+-...+ qx—i log^-'a: = o

entraînera ensuite

?>.-i=°, ?X-2=o, ..., qi=o, y0=o.

11 est facile de voir que les p et les g sont reliés par des relations telles que l'on

aura aussi

Donc l'expression x?W(x) qui se réduit à xKpQ ne contient pas de logarithmes.

Le déterminant D est lié aux coefficients des équations (i i 5) par la relation de

Liouville

D = CeM,+--«J^,

11 faut alors que cette expression soit aussi régulière. Pour trouver les conditions de régularité, posons

an -H. . .-t- a„„ = — - ■

a étant plus grand que l'unité, et nous aurons

(«,!-!-■••-+- ««) dx = ^ -(-. . .-(- K \os,r +.'..+ L„xi>-

D'où nous tirerons

D = Ced-»)*" ' x x<<x 0(x),

où 9(#) est une fonction holomorphe dans ie domaine de l'origine.

Il est évidemment nécessaire et suffisant que a ne dépasse pas l'unité pour que l'expression de D soit régulière. Donc, si D est le déterminant d'un système fondamental de solutions d' équations régulières de la forme ( 1 1 5), V expression S||+...+ a.ln, multipliée par x, est holomorphe.