Écrivons les équations (1 19) sous la forme

dx

= 7ua'J->'j

Si les coefficients aij sont holomorphes dans le domaine de l'origine, et si tous les nombres entiers a,- sont nuls ou négatifs, le système est régulier.

Nous n'aurons donc de difficultés à rencontrer que dans la recherche des systèmes réguliers où l'un au moins des nombres a,- est positif, en même temps que toutes les valeurs initiales correspondantes «° (J = 1, 2, . . ., n) ne sont pas nulles à la fois. Nous nous placerons dans cette hypothèse.

Nous supposerons d'abord que tous les nombres a,- soient positifs, et nous

poserons

a,j = ajj -+- x a}j -+■ x2 ajj -+- . . . .

Nous ferons ensuite la substitution

y. = xr <fi(x) = xr(<f9 ■+- xy} -h a?2©? -(-. . .)

SYSTE31ES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES.