IO
et nous identifierons, sachant qu'il doit exister au moins une solution de cette forme .
Nous aurons d'abord les équations
qui devront être compatibles, et nous pourrons supposer au moins l'un des », soit cb", différent de zéro. Alors, si cela est nécessaire, nous remplacerons, dans les équations difiérentielles (1 23), l'inconnue yi par yt-\-"kiy\ («'=2,3, ...,«), de sorte que la valeur initiale «p? -J- X/a»" ne soit nulle pour aucune valeur de {', et nous aurons
xl+*' C~dx = Ul ,r' + cll-(-y- + 1-?1 )+■.■•+«!« (r« -1- Xnyï ),
Il est évident que le nouveau sjstème différentiel pourra prendre la même forme générale que le sjstème (i23), et sera régulier comme lui. Mais, de plus, si l'on fait maintenant la substitution
on devra avoir '-of^é o pour toutes les valeurs de i.
92. Nous supposerons que le système (i23) est préparé de manière à satisfaire à cette hypothèse.
Parmi les équations (i23) distinguons celles qui correspondent à la plus grande valeur a des nombres entiers a,-, et plaçons-les les premières. Le système (123") pourra s'écrire
(I24) a7l+a£ = 26'7ry' (i = i,*,...,n),
et, pour les valeurs j, 2, . . ., h de l'indice i toutes les quantités &?■ ne seront pas nulles pour toutes les valeurs de j, tandis que l'on aura &,•.■= o pour ( = /i + i, h -f- 2 , ...,/?.
Dans ces conditions, on peut démontrer que le déterminant
bli ••• b%
b/n ■ • ■ bhh
est nul. En effet, dans le système (124), considérons la solution
;/, = a;pu>'"-> A,„, fi(u) = crP <p,-(;r) = ;rP(cp° -4- a;tpl M- a:!<p? -(-. . .)
lo8 L. SAUVAGE.
où nous pouvons supposer »°p^ o, et posons
yi= mg,-
Nous aurons
dqi , I , du/\
Mais
i dui p i doi ut dx oc ep,- dx
Nous aurons donc
x^^i = 6|I2*?f + ..., ré„(f +-L $i) ».«] yi+.. .+ 6„2- ?„.
Comme ces équations admettent la solution 57= 1, nous aurons identiquement
Cela posé, remplaçons </, par xr(q" + xq\ -\-. ..). Nous aurons
(127) a-1-1-1* - (gr? -h a? q\ ■+-.■■) + q} -\- 23> <??-(-. . .
= (6?, -t- xb\+. ■■)^+"'(?î + 3'?!+--') + "-'
En identifiant à zéro les coefficients des diverses puissances de x, nous aurons d'abord la condition de possibilité
b« b«. ïl b° ï-2
" 12<?î "Vî
A» ïi A» 7,0 i»
""o» °22 ••• &2"tp»
7,0 !fj 7,0 Î?I 7,0
nl(p» "2œ» '"• "" Au moyen du premier membre de cette condition formons l'équation en 5
7,0 ç 7,0 Jji
Kn—S
Elle pourra se ramener à l'équation
bU
Mais, à cause des conditions (126), on peut écrire
*l+a~dx =bi^.^'-—ry>)-^---+h'"^L(<j/a-qi) (J=i,2, ...,«),
de sorte que, si l'on pose
on pourra former un nouveau système différentiel régulier de la forme
dx \ e,, o,,
et, en posant
:7i— zk -+- XZh ■+■ . .
on pourra encore identifier à zéro les coefficients des diverses puissances de x, et l'on aura la condition
7,0 s± Ao îî. .. I
qui fournira l'équation en s
A Ao il - ao XS Ao t«
tJl
