î|6ïl,ï

?« 'fi

Introduisons la racine zéro supplémentaire, et écrivons cette équation sous la forme

o» cp°. œ°

o Ao &o Ïî 4 ... JO Iii A0 1»

••• b?,n—b<!nz% —s

IIO L. SAUVAGE.

En ajoutant la première ligne à chacune des suivantes, nous aurons

-s bu-l ■■■ b%£

Mais à cause des conditions (126) on a, par exemple,

- hh 9 +••■-+■ (*?<■ -»>+.. ■+ % Jf] = 6?i Jf ■+■ *■

Donc, si l'on retranche, dans le déterminant (1 33), la somme des éléments des dernières colonnes des éléments correspondants de la première, on aura l'équation (129) et, par suite, l'équation (i3o). Appelons \(s) et A,(s) les premiers membres des équations (i3o) et ( 1 33), nous aurons, au signe près, la relation

Voici les conséquences de la relation ( 1 34)-

Considérons d'abord une équation régulière à une inconnue

nous aurons

dy

Donc A(s) = o admet la racine zéro.

Passons à un système régulier de deux équations différentielles. Nous aurons,

à cause du cas précédent,

et, à cause de la relation (i34), l'équation

devra admettre deux fois la racine zéro.

De proche en proche, on démontrera que l'équation A(s) = o a « racines nulles, si le système (124) est régulier. Mais on a ici, en tenant compte des 6*. qui sont nuls,

■ Kh — «

&JUi ■■

On en conclut que le déterminant

est nul.

93. Cette condition subsiste après qu'on a fait une substitution de la forme

y y = z -+- m2y, -K . . -t- m„yn

dans les équations (i il[ ).

En effet, on a

dz

dx

(on — ni,b-n — . . . — rnnb,n)z -y- ? [bu — . .. — m„b„i-*- i>i,(bn — .. . — mabm)]yi,

xi+<* ■— = bn z -h ( b,-2 -h m, bu )y2 -+-...+ ( bin -+- mn bn)yn.

Le déterminant qu'il faut étudier se réduit, à cause des conditions

bjj = o ( i == h ■+- 1 , . . . , n),

b%—.. .— mhbyn b% — ...— mhb%2-hm2(b%—.. .— mhl>1n) . . . b\x b^-y-m^b^

Ce déterminant se ramène immédiatement au déterminant

bfa •■• K,,

et, par conséquent, ces deux déterminants sont nuls ensemble. On verrait de même qu'une substitution quelconque

y,= zt+ m,yi-h. . . -t- mi^yi-i -+- mMyi+l -h . ..-)- in„y,t,

pour une valeur donnée de i, même pour s = h H- 1, ...,«, ne change rien à la conclusion précédente.

En conséquence, il n'est pas nécessaire que l'on ait cp? ^o pour que le déterminant | b" t ... b\h | soit nul ; car, pour arriver au cas où <p,° n'est nul pour aucune valeur de i, on n'a fait que des subslitutions de la forme de celles que l'on vient d'étudier.

94. Revenons maintenant au système différentiel (i23) mis sous la forme

dx

= a.i,yi + ... + aiayn,

et supposé régulier. Admettons d'abord que, pour aucune valeur de i, on n ail tous les a°ij nuls quel que soity, et posons

(i 36 | yi= xra;= xr(af -+- %<?}+ a?2 cp? -*-... ).

Nous aurons les équations

et, puisque le système (ia3) admet au moins une solution de la forme ( 1 36), le déterminant

doit être nul.

Posons alors

et déterminons X,, X2,

Z = \\X\ -t- ^2^2 + - ■ •+ ÀreJKn,

. , \n par les conditions aîyÀ,+.,.+ a<>yX,t= o

nous aurons

dx \ dx

dyn-

= ^i{auyi + ...-¥■ ainyn) +.. .+ ln{a,ny1 + ...-[- anllyn,)

= (Xirtu-H.. .-+- X^a,,,)^ -t-. . .-H (X[ «,„ + .. . -+- ~kn.Ct>nn)yn-

A cause des conditions (i4o), cette équation pourra s'écrire „ dx , ,

di = a<y'+- ■■+a»r'»

où a'n . . ., an seront des fonctions holomorplies comme les fonctions «,y.

Les équations (i4o) étant compatibles donnent au moins une valeur, X„ par exemple, qui n'est pas nulle, et, de l'équation (i3p,), on tire

yn

de sorte qu'on peut éliminer yn et remplacer le système (i 35) par le système

dz , X*dx~ = ,l'ri +'-+{»-i,»J'«-i + b,mz,

et, dans ce système, le déterminant

èîi ••• &?,»-

°<i-l,l • • • °ii-l,n-l

devra être nul en vertu du théorème du n° 92. Posons maintenant

yi = zi+v.iz

nous aurons

sl+«*'=-l-w£&l' „,■»!.+«£

dx

dx

\>-iX

dx

= (bny, +...-{- binz)— \xix{b,nyl->r...+ bn,lz)

— H(^[6„i('«|+ |a,3)+...+ &„,„! (*„,+ fJL„i^) +&„„2].

Le coefficient de z sera

[Xièfi + . . .H- [J-n-l bi,n-i -+- bin — [Jt,a?( pt bnl •+- . . .-)- (/.„, &„,„,-+- é„„),

et, si l'on veut qu'il soit nul pour x = o, il faudra poser

(142) p-i &?! -H... -H jji,i i6?/i 1-(-6,l',(= o (î = 1, 2, . .., n — 1)

Mais le déterminant de ces équations étant nul, elles pourront n'être pas compatibles.

Supposons ces équations non compatibles, et remarquons que l'on doit avoir

*îi¥Ï+---+ b\nv% =0,

b%- i,i <?S +...-+- 6», iB <p° = o.

11 faudra en conclure que l'on a »• = o, et, dans cette hypothèse, on pourra

poser

Les équations (i42) se réduiront aux équations Mais l'équalion en ; deviendra

Xi+a -T- = 6«l~l +•• ■+ &«,«-! -S/j-l -+- b',ulz,

ri l'un de\ ia avoir aussi

et il y aura compatibilité, car on doit pouvoir poser

^jCbÇ-K..-)- £>»„, (s»j -¥b«jn<i% = o,

el de plus, on a identiquement

Alors, si c'est nécessaire, on devra pouvoir calculer des nombres Vi, v», . . ., v„, tels que l'on ait

el alors l'expression

sera eçale a

->\b\i + ...+ ^u-\b%iA -+- 6»! =o,

(v! 6n-|-...+ v„, èw-i,] -+- b,n)zi-i-. . . -)- (v 61/t-H . . .+ bnn)z' et sera divisible par x. Nous prendrons alors

pour inconnue à la place de s'. Soit, par exemple,

U =VlZl-{-...-h V,,-,;,,-!

Les équations différentielles prendront la forme générale

, drt

Xl+a —. — = 0;!^!+. . .-+- <Zin U,

xa -j~ = ani yi-r- ■ ■ ■ -+- ann ",

et l'on aura maintenant

De plus, le déterminant

sera nul.

Parlons maintenant des dernières équations différentielles obtenues, et employons de nouveau, avec des significations analogues, mais non identiques, les notations qui nous ont déjà servi.

Posons

043) z- 1 xy% + ...■+- X„, ./„, ,

et déterminons X, , )>25 ■ • ■ ■, ^«i par les conditions 0 14 ) a\j Xi-i-- . .+ «S-^/ijir-j = o

nous aurons, comme précédemment,

dz