X-J--T- = a\yl + . . .-h an^y,t-i + a„u

Les équations (i44) étant compatibles donnent au moins une valeur, X„~i par exemple, qui n'est pas nulle, et l'on peut poser

yn-i =

— TZS-

de sorte qu'on peut éliminer y„, et former le nouveau système différentiel

, dyn.

b„y\ +...+ &i>«-2j>'«-2 -+- 6i,«— i-s -\-blnu,

- = 6„2]lJ'l+. . .-H6„2]„2jK«-2+6«-2,J2-l--t- 6«-2,««,

et, dans ce système, le déterminant

■b„-itn-iz-h b,l-lt,l u, ■ b„ „l3 -i- b„„ u.

devra être nul.

Kn-

Il6 L. SAUVAGE.

Posons maintenant

yi= zt-v- pis (i = i, a, • ■ -,n — 2);

nous aurons

a?'-1-»-^ = A/1Z1 + . . .-t- A,- „»s„, + A,- ,,-iz -+- A,„w.

Le coefficient de 5 sera, pour x = o,

(*,&», 4-. ..-t- |JL„s6»n 2+ &£„,,

et, si l'on veut qu'il soit nul, il faudra poser

046) (-il 6;\ -)-... &?„, = o (1 = 1.2, ...,« — a).

Ces équations peuvent ne pas être compatibles. Mais, comme on doit avoir

6? tpj + . . .-t- b° n t t?«-i = ° ((' = 1, 2, . . . , /! — 2),

on devra poser c3)), = o, ce qui conduira à remplacer z par xz' . Les équations (i4t>) se réduiront aux équations compatibles

\i-\b\ -+■ . . .-+- fjL„26?n 2 = 0 (i = r, 2. . . ., n — 2).

Alors, si c'est nécessaire, on devra pouvoir calculer des nombres v(, v2, . . . , v„2

tels que l'on ait

et alors l'expression sera égale à

(V, bu -H... + 6„i )=! + .. .+ (V, &!,„! + ... +'&„,„! )z'

et sera divisible par x. On prendra alors

pour inconnue à la place de s', et finalement les équations différentielles prendront la forme

, dJi dx

du,

X* —j— =«„!,!/!-)-.. .-han-ltn-\Ul+ a«-l,n«2,

du*

et l'on aura maintenant

De plus, le déterminanl

sera nul.

Il est évident que le procédé pourra s'appliquer indéfiniment, et, par suite, qu'on pourra ramener le système proposé à la forme

&*-4- = ailyl+...+ aiayll.

En diminuant a d'autant d'unités qu'il sera nécessaire, ce qu'on sait maintenant réaliser pratiquement, on sera finalement ramené à un système canonique.

9o. Eludions l'exemple numérique suivant

•■•)J',+ fe" ï+-;-

On trouve d'abord qu'il faut remplacer y2 par xy3, ce qu

•)J"'+(ïî-|-'-

dy.2 dx

La même substitution sera encore nécessaire, et l'on aura 1 3

dyi dx

dyz dx

-H H . . . ri -+- — ; H...

ru y-i-

donne

On posera maintenant

-3 = 7i— J'2, d'où ^ = 3 + 7,,

et l'on aura

efe dyx dy* dx dx dx

«?a? \ ^2 x Jy J \x* x é

Il8 L. SAUVAGE,

ou encore

Enfin, remplaçons z par zx, nous aurons

dx ~ x\ )y-

C'est un systèfne canonique, ce qui prouve que le système proposé primitivement

est régulier.

Du reste, on peut le vérifier autrement, en remarquant que le système qu'on

vient d'éludicr dérive du système numérique du n" 88 par le moyen des substi-

tuti o n s

y\ — x*zu y, = xz,.

96. Le cas le plus important des systèmes réguliers est celui qui provient de l'équation d'ordre n

(''7' dx"- ~ xv> dx»~> + ' " ' + x^. y'

supposée régulière. On peut le traiter facilement d'une manière directe. En effet, remplaçons l'équation (147) par le système équivalent

/ dy\ p* p, p„

\ dx .rrai x™* x&n '

[■£■=*-* fy = a, 3,. ..,«),

les p étant des fonctions holomorphes non nulles pour x = o. Faisons le changement de variables suivant

yn= xP <f„,

y,l—i = Xp~ ' ©,;,',

yl = se?— («— 1) ç,,

de manière que les dernières équations ( 1 48) prennent la forme canonique. Par exemple, l'équation

yn-i-i =

dyn-i dx

SYSTEMES D ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. I IC)

donnera

<?„,-, = (p - i) cp„t--H a?-^—

On remarquera en passant que

T8-«-t = (p-*")«pS-«.

el, par suite, que

et tous les tp" seront différents de zéro, si p est quelconque. La première équation ( i 4 8 ) deviendra

/ .. d<S\ Pi Pu

-t-fo — n -+- i )x?~"o, = — Oi-1-...H - on,

ou encore

d?i , Pi Pn

Les équations précédentes forment donc un système qu'on peut écrire orh-~ = Vto,-h \'.1o,-t-...-h P„a„,

ftp„-

et où toutes les quantités P ne seront pas nulles à la fois pour x == o. Le système sera régulier si l'on a

car alors on aura h^i.

Je dis que ces conditions suffisantes sont nécessaires. Pour le démontrer, admettons la proposition pour une équation de la forme ( 1 47 ) et d'ordre (n — i) et démontrons qu'elle est vraie pour une équation d'ordre n. Comme elle est vraie pour n = i, elle sera ainsi démontrée en général.

Au n° 24 du Chapitre I nous avons montré que, pour ramener un système de la forme (i 48) à un système non seulement linéaire, mais encore de la même forme, on devait poser

y n = y = uftdx;

u élant une intégrale donnée de l'équation différentielle (i4~)- Dans les conditions actuelles, nous supposerons u„ régulier et de la forme xr <fn{x) et, en nous reportant aux notations de ce n" 24, nous ramènerons le système (i 48) au système

également régulier

dti

= tk-

où l'on a

P = L T— - — + PlU~\t

1 « [ i dx x&< J '

i |~ w(re — 0...2.I da~l u pi n(n — 0...3.2 d"--u. p„-iu~\

a~l — u | y.2...(n — i) dx"-1 x™< i.2...(« — 2) dxn~2 "' a?ra„., J

Nous supposons que P, ,P2, . . -,P»i peuvent se mettre sous les formes — > — f > •• ■>

"",' , où fi, , n.>, .... II,, i sont des fonctions holomorphes. On remarquera alors que l'on a

Il = xr o(x),

lu . do dx dx

du do

= Xr -r- -+■ rx'-' o,

et. d'une manière générale,

d^=XrdJ^^-Vr',dx^l^----i-a/'-r i> ce que l'on peut écrire

Z*>X'-ldx^.' (S5 = V>

et, par suite,

>. = * i d'< u v/ > ' d1'-^ <? u Ix7' -Zàair ôdxtt'

Chacun de ces produits est donc infini d'ordre infini d'ordre k au plus.

En conséquence, si des expressions de P(, P,, . . . , P„i on lire —^ ■> ~-j

p" ' ; on obtiendra des expressions infinies d'ordres finis i, 2, .... n — i res-

pectivement comme P( , P2, . . ., P„< eux-mêmes. On devra donc avoir ra, = i, w2= 2, . . . , w„, = n — i .

Enfin, de la première équation ( 1 4 8 ) on virera

Pu I I d" U pi d'1-' Il pa-l dll\

a?CT« u \dxn x dx11—1 x"--1 dx)

et, en développant le calcul, on verra que l'on aaussira„=/; ('). On retrouve ainsi le beau théorème de M. Fuchs :

Les équations différentielles linéaires et homogènes, d'ordre n et à coefficients uniformes, dont les intégrales n'ont qu'un nombre fini de points singuliers a,, a-,, ■•■, ap, oo, et restent régulières dans les domaines de ces points, sont de la forme

d" y Pp-i(J?) d"-'y Pa,p-i)(x) d«-*y ^ P„l9-l}(x)

dx" ~ W(x) dx»-i + [W(a;)]2 ffe""2+""+ [Via;)]» y' où

W(x) = (x — ai) (a — a-2).. .(x — ap),

et où les P(x) désignent des polynômes en x de degrés marqués par les indices ou de degrés moindres.

Cette belle conclusion de l'étude des systèmes réguliers montre que le seul cas général possédant un caractère de simplicité est celui du système (i48) qui provient de l'équation ( 1 4 7 ) différentielle d'ordre n.