Ecrivons une équation régulière d'ordre n sous la forme

d" y pi d'1-1 v p„

dx'1 x «a?»-1 x"

Les exposants /■ des solutions seront déterminés par l'équation

qui est algébrique et de degré n en r.

Cette équation s'appelle, soit l'équation fondamentale déterminante, soit ['équation caractéristique de l'équation différentielle.

Il est utile de connaître les principales propriétés de cette équation algébrique.

D'abord, pour former l'équation D(/-) = o, on pourra procéder de la manière suivante. On posera y = xT dans le premier membre de l'équation différentielle, ce qui donnera l'expression

x''-" [r(r — 1). . .(/■ — n -+- i) -+- pi ;■(/■ — 1 )...(/•— n -+- 1) -h. . .-(-/>„ J. (') Voir la Thèse de M. Floquet.

On divisera ce résultat par xr, et l'on égalera à zéro le coefficient de la plus basse puissance de x.

Voici d'autres propriétés :

Si p„ est identiquement nul, D(/) est divisible par /•. Faisons cette division et changeons ensuite r en /•+ i, nous aurons l'équation caractéristique de l'équation différentielle d'ordre n — i, obtenue en prenant pour inconnue-^-- Il n'y a

qu'à vérifier l'exactitude du calcul proposé, ce qu'il est facile de faire.

Si l'on pose y = xr«z dans l'équation différentielle, l'équation caractéristique de l'équation en ; aura pour racines celles de l'équation caractéristique primitive, diminuées de /0. Elle se déduit donc de l'équation D(/') =oen changeant /' en r + /•„.

Si l'on pose y = T(x)^, W(x) étant une fonction holomorphe différente de zéro pour x = o, l'équation caractéristique de l'équation en z est la même que celle de l'équation en y. En effet, on voit sans peine que l'équation en z étant de la forme

'«fc— I ^Wi ' ■*' dx"-

son équation caractéristique a son premier membre décomposable en deux parties, la première provenant de l'expression

xr-n [/•(;•[).. .(7- — n -+- l) -!- pi /•(/• — l)...(f-n+ÎJ+...+.^,],

et la seconde de l'expression

xr—n [/■(/■ — i )...(/■ — n -+- 1) -+- Pi /•(/• — i ). . .( /• — ft + 2)+..,+ PJ,

Or, le plus haut exposant de x dans les dénominateurs de la première expression étant supérieur au plus grand exposant de x dans la seconde, si l'on multiplie par x8~r, g étant le plus grand de tous les exposants, et si l'on fait ensuite x = o, la seconde expression donnera un résultat nul, et l'on obtiendra, par conséquent, le même résultat qu'en opérant sur la première expression seule, c'est-à-dire sur celle qui correspond à l'équation caractéristique de l'équation en y.

Ces diverses propriétés, rapprochées des théories que l'on a vues dans les Chapitres précédents, servent de base à la théorie des équations différentielles linéaires et homogènes d'ordre «dans la plupart des Mémoires (') publiés sur cette question. Pour plus de détails, nous renverrons le lecteur à ces Travaux.

("1 Fucus, Journal de Crelle, t. 66, p. i2t et Tomes suivants. — Tannery, Thèse de Doctorat. — Tiiomé et Fkœbiïnius, Journal de Crelle, t. 66 et suivants.

Ajoutons enfin une remarque. Il peut se présenter une circonstance curieuse dans le cas des systèmes réguliers. Si, en un point quelconque x = o, toutes les racines de l'équation caractéristique F(r) = o sont entières, positives et distinctes, elles ne formeront qu'un seul groupe. Si, en outre, les logarithmes disparaissent dans l'intégration, les solutions n'offriront au point x = o aucune singularité, et ce point ne sera pas en réalité un point singulier. Il ne diffère des autres points qu'en ce que le déterminant d'un système fondamental de solutions s'y annule. Ces points ont reçu, de M. Weierstrass, le nom de points à apparence singulière.

98. Le théorème de M. Fuchs fournil une seconde méthode pour décider si un système quelconque est régulier.

Posons

- = >.i7i + ■•■-+- ^„yn, et soit donné le système

( 1 49 ) a-P -& = an yx + . . .4- aia y».

Il est à peu près évident que ce système sera régulier, si la valeur ; satisfait à une équation différentielle régulière d'ordre n, quelles que soient les valeurs de X,, . .., 1„. Nous allons préciser cette question.

D'abord z satisfait à une équation différentielle. Car si la variable x fait le tour de l'origine, on a, avec les notations du Chapitre III,

Zy=X1YIy-(-...+ X„Yny,

et, entre les anciennes et les nouvelles valeurs yij et Y,y des éléments d'un système fondamental de solutions, existent les relations

Y'7 = c>i yi\ ■+■ • ■ ■ -+- Cj„y,„, de sorte qu'on a

Zy= Xi(Cyi^n + . . .+ Cj,tyln) ■+-. . .+ ln(CJ1yni-h. . .-+- CJnynll) ou

Zy= CJ1(llyil-h..:+laynl)+...+ Cja(l,yln-h...-hl„ynn),

ou enfin

Zy=Cyl3l + ...+ Cy,^„.

On reconnaît les équations caractéristiques d'une équation différentielle Linéaire et homogène d'ordre n. Pour des valeurs choisies de ~k, l'ordre n'est pas nécessairement n; il faut, pour cela, en plus des conditions précédentes, que les n fonctions st, ...,:■„ soient linéairement indépendantes.

Le contraire peul arriver. En effet, écrivons la relation

AjSi-t-. . .-t- Anzn= o

à coefficients constants. On en conclura, en faisant

ZJ— ^iTij-i-- ■■+^ny,ij, la relation

A.i(X1^n + ...-t-X„,x„1)+...+ A„(XI^1„-i-...4-X„-yn„) = o

ou

Xi(A1 x11 + . . .+ A„7i„) -K . .-h X„(A,r„.i +. . .+ A„j„„ ) = o.

Or, les parenthèses renferment les éléments d'une certaine solution du système différentiel. Donc, si l'équation générale en z n'est pas d'ordre n, il existe une solution y-,, , . . . , i\„ des équations en y, entre les éléments de laquelle il existe une relation linéaire à coefficients constants de la forme

).|ï)l -h. . .-t- l„rln = o.

La réciproque est vraie. En effet, on a

i){= Ai yu -h... -t-A„y,-„ et, par suite,

X,(A1,7n-i-...)+... + X,l(A1joJl4-...) = o ou

Ai(X!/u + . . .-t- X„j„,)h-. . .h- A„(X17i„-i-. . .) = o.

Donc les n fonctions

ne sont pas linéairement indépendantes.

Mais si les \ restent quelconques, l'ordre de l'équation en z est n. Car, pour que l'équation

Xi(A1yu + .. •-+- A„jKi«)-i----+^«(Air«i-i---.-t-A.„jK,i,i) = o soit satisfaite pour toutes les valeurs de 1|, . . . , A„, il faudrait que l'on eût

A-iyin -+-...+ h-nyin =0 ( l = 1 , 2, . . . , n ),

ce qui est impossible, si le système de solution yij est fondamental. On formera l'équation d'ordre n en z de la manière suivante. Posons, en général,

dkVi I / a k a k

et dérivons cette équation. Nous aurons

d*+lyi = t / dA.fr

dxk+* xkP V dx

+yn

dk'in

dx

xkP

A* dyi i . . + A* dy,l\ ' n dx '" '" dx /

^Lyn),

et, en remplaçant -^ par sa valeur tirée des équations proposées, nous obtiendrons

équations où l'on a

A//' = ^^-^P^-1A^ + (Af1A^ + ...+ A^AAy),

et les fonctions Aiy- seront holomorphes, à condition que p soit un entier positif, et que les fonctions a,y de l'équation (149) qu'on peut écrire A' soient holomorphes. On aura alors successivement

d*z , dkyi dxk

dl'z

dxk dxk

d*yn

dxk

ce que nous écrirons simplement

xkP

dk.

En faisant k = 1 , 2, . . . , « dans cette équation, nous obtiendrons n équations du premier degré enj,, . . :,ya- Avec l'équation qui définit s nous aurons n 4- 1 équations entre lesquelles nous pourrons éliminerai, • ■ -, yn- Le résultat obtenu est de la forme

dx"-i

t2Ô L. SAUVAGE.

ou, en développant, de la forme

d"z i A, d"~iz i A,i-i dz

cte" ' .rP A dxn~l x{"-l)? A fte ,r"P A,j '

Si l'on a o = i, tous les rapports -£ devront être holomorphes, car l'équation

en ; devra être régulière comme le système proposé.

Pour une valeur quelconque de p, les conditions seront, comme on l'a déjà vu directement, compliquées à cause de la présence indispensable des n indéterminées ).,, . . ., X„ dans les déterminants A.

Cependant, si les hypothèses

\j = o, j je. i, X, 5*£ o,

faites pour toutes les valeurs de i successivement, conduisent à n équations différentielles d'ordre n, chacune de ces équations, étant débarrassée d'arbitraires, sera d'une façon rapide reconnue régulière ou non, et cet examen suffira évidemment pour formuler une conclusion sur l'équation générale en z-, ou sur le système proposé lui-même.

99. Le procédé qui permet de ramener un système régulier à la forme canonique consiste à faire une suite mélangée de substitutions des formes

yiW+^ntjyj (7=1,2, ..., i — M' + l, ...,n).

Réciproquement, si l'on fait, dans un système canonique général, une suite de substitutions arbitraires des formes précédentes, on formera un système régulier quelconque.

Comme conclusion de ce Chapitre, nous dirons que tout système régulier peut être ramené à un système canonique.