DES SYSTÈMES A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES

100. Au moyen des principes exposés au Chapitre précédent, on peut reconnaître si les solutions d'un système d'équations linéaires et homogènes sont régulières en chaque point. Si, de plus, les racines de l'équation caractéristique sont entières, et si les logarithmes disparaissent, les éléments des solutions seront uniformes. Nous supposerons dans le Chapitre VI que ces hypothèses soient réalisées clans tout le plan, et nous étudierons la classe très intéressante des équations différentielles de la forme

(A) -^=ailyl+...+ ainy,u

où les coefficients a sont des fonctions uniformes admettant la période u>, et dont les solutions sont uniformes.

Si l'on pose e w =x', le système A prendra la forme (A') ^X =a'llyl + ... + alnyll.

Ce système linéaire pourra être étudié comme un système ordinaire, et, en rétablissant ensuite la variable indépendante x, on aura mis en évidence le rôle de la période w.

Mais on peut employer un procédé direct de recherches, comme nous le montrerons dans ce Chapitre.

101. Soient J'ij(j =1,2, . • • , n), ou fij(x)n solutions distinctes du système différentiel (A). Quand la variables va, par un chemin quelconque, du pointa; au point x + w, les fonctions uniformes fij(x) prennent les nouvelles valeurs fij(x-\-to), tandis que les coefficients uniformes et périodiques a reprennent leurs valeurs primitives. En consécjuence, les ftj(x -+- w). fonctions toujours distinctes, forment un second système fondamental de solutions dont on peut exprimer les éléments en fonctions linéaires, homogènes, à coefficients constants des éléments du premier système fondamental fj(x). On aura donc des relations de

la forme

(.5i) /</(*-+- w) = Cyi /»(»)+. • .+ Cyn /,„(*),

où le déterminant des constantes C est différent de zéro.

102. Les relations (i 5 1) sont caractéristiques dans le plan des systèmes d'équations linéaires et homogènes, à coefficients périodiques, et dont l'intégrale générale est uniforme .

Soit, en effet, D le déterminant, supposé différent de zéro, de n2 fonctions yij (/, j = i, 2, 3, ...,/;) d'une variable indépendante x, uniformes dans tout le plan et n'ayant que l'infini pour point singulier.

Supposons que cette variable x décrive un chemin quelconque allant du points au point x -+- w. Si les n- fonctions prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants telles que les relations ( 1 5 1 ), ces fonctions forment un système fondamental de solutions d'un système d'équations de la forme (A) dont les coefficients a sont périodiques et n'ont d'autre point singulier que l'infini.

Nous démontrerons cette proposition en formant un système d'équations tel que (A) auquel satisfassent les n- solutions yij. Nous aurons, en général, les relations

amynj

et nous en tirerons

D ai n =

dvin

n- ••• ss- ■■■ y™

c'est-à-dire que nous pourrons calculer les coefficients a.

Ces coefficients sont exprimés par le rapport de deux déterminants. Le dénominateur du rapport est toujours D ; le numérateur est le résultat obtenu en remplaçant dans D les éléments d'une colonne par les dérivées des fonctions yij. Les éléments des deux déterminants prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la forme (i 5 1 ) quand la variable x décrit un chemin quelconque du point x au point x-\-a>. Les constantes sont les mêmes pour les éléments homologues des deux déterminants qui forment le rapport. Les deux termes du rapport sont donc multipliés par le même déterminant des constantes. Donc le rapport ne change pas, et, par suite, les coefficients a sont des fonctions périodiques.

Les coefficients «, n'ayant évidemment pas d'autres points singuliers que ceux des fonctions yij elles-mêmes, n'ont d'autre point singulier que l'infini.

Enfin, le déterminant D n'étant pas identiquement nul, les fonctions yij forment un système fondamental de solutions du système d'équations (A).

103. Considérons maintenant deux systèmes fondamentaux de solutions du système d'équations (A). Nous représenterons leurs valeurs par y;j et ïjy, et leurs nouvelles valeurs par Y/y et H, -y quand la variable x a passé du point x au point x + co. Les déterminants L et A des constantes qui entrent dans les relations

YiJ = tjira -+-•••+ Ijnytn }

Hy=A/1jKzi-f-..--+-X,-ffiï),-n )

seront différents de zéro.

Si l'on exprime les éléments i\£j en fonction des éléments ytj, on aura les relations à coefficients constants

IV = C/iiy/i + ...-+-Cy„ix,„,

ll,v=C;lYil + ...+ CJ„Y,„:

d'où, en développant les deux expressions de H,-y,

H,7 = (Cy,;H+...+ CJn lnl )yn +. . . + (Cyi /,„ H-. . . + CJn lnn )yin, II/7= ()V,C,,+.. .-+- X/nGnl )yn + ...+ (kA C,» + . ..+ Xy„C„„)7t„]

on en conclut (n° 38) que (es diviseurs élémentaires du déterminant

lu— ■•• In,

ne dépendent pas du choix du système fondamental de solutions qui sert à former ce déterminant.