Posons, en général

Y,y=^yi/h + ...-t- Ijnym,

les coefficients l étant indépendants de l'indice i. Nous venons de voir que le déterminant R(s) conserve les mêmes diviseurs élémentaires quand on change le système fondamental de solutions. On a vu, d'autre part (Chap. II, n° o3), qu'on

peut formera priori un déterminant ayant les mêmes diviseurs élémentaires que le précédent. Ce déterminant R'(s) est

Il résulte de là qu'on peut faire une double substitution de la forme

ytj=&j\y't\ ■+-••■+ cy„y,„,

.r'ij = C,;X,|+.. .+ CHjXia,

qui ramène à la fois la forme

à la forme et la forme à la forme

■*7i Yfi -t- . . . -+- Xi,i Y,-„ arjj Y'f i -H . . . H- x'in X\n , xnyH-4-... + tetayin

x'ny'il -+-■ • •+ x'iny'in

lesj^'et les Y' étant les anciennes et les nouvelles valeurs d'éléments qui correspondent au déterminant R'(s).

Or, si l'on considère la forme de ce déterminant par rapport aux coefficients qu'on appelait l d'une manière générale, on voit qu'on a les relations importantes

Y/i = «tri,,

YH = ziy'i2-t-y'n,

y'ij<=Sîy'i>j'+y'u'-i>

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l3l.

On tire de là le théorème suivant :

Soient (e( — s)c<, ..., (îp — s)ei les diviseurs élémentaires du déterminant R(î), et il importe peu que les binômes e, — e, ..., sp — s soient distincts ou non, on peut trouver un système fondamental de solutions dont les éléments se groupent d'après les relations

Y,-2= thyn +yn,

(î/, — z)ei' étant l'un quelconque des p diviseurs élémentaires de R-(s).

105. On peut arriver aux relations précédentes en partant d'un système fondamental quelconque de solutions, et en substituant à ses éléments d'autres éléments qui leur soient liés par des relations linéaires et homogènes indépendantes et à coefficients constants convenablement choisis.

Le choix de ces coefficients est déterminé par des procédés identiques à ceux qu'on a exposés au Chapitre 111 (nos 68 et suivants) dans une question absolument analogue.