Posons

f\x) = vSi(x) -+- x rz-i(x) ■+■ ■ ■ .H- xm~l mm(r),

les fonctions ns satisfaisant aux relations

n = ew,

lorsque dans ces fonctions x varie deœàx+u. On dit dans ces conditions que chaque fonction uniforme ra(.r) est périodique de seconde espèce à lapé/iode w et au multiplicateur t. Si £ = i, on dit simplement que vs(x) est périodique. On peut dire aussi que ts(x) est périodique de première espèce. Toute fonction uniforme satisfaisant à la relation

II = sra, ou tz(x ■+■ co) = s tb(x),

peut être représentée par l'expression

m(^) = erx p(x),

où l'on a e = erw, et où p(x) est une fonction périodique de première espèce. En effet, le produit e~r-rTn(x) est périodique de première espèce.

107. Pour chaque groupe de solutions satisfaisant aux relations

Yji= Bjrtl,

Yjs= eyit-4-ytH

on pourra poser

Yim=syim-i-yi,m-i, yi,«,=.sA/i(x),

absolument comme dans les nos 80 et 81 du Chapitre IV, les différences A étant prises par rapport à l'accroissement w de x. Vérifions, en effet, que ces formules sont vraies. Nous aurons

= eH-» [A* /(*) + **+!/(*)]

Mais, dans le calcul de \J(x), il faut bien remarquer que l'on a

/(a?) = ra, (.r ) + a; TOoO) -*-...= e«[y>,(.r) + x/)j(x) +. . .]; de sorte que l'on a

/(a?-t- (o) = e''">erx[/>i(a? + u) + (a: + cu)/>2(.r-i- co) +. . .] ou

f(x ■+■ CU) = £[TOi(3') -+-(37+ C0)ro.2O) -j- . . .],

et, par suite, dans le calcul des A successifs de /(x), il faut changer x en x -+- cj seulement en dehors des coefficients w(x), ces coefficients étant considérés comme des constantes, et ensuite multiplier par s à chaque nouvel accroissement A.

On peut encore dire que chaque groupe de solutions peut être représenté par des expressions de la forme

/ vim = erxo},„, (i53) ^,*-. = «™[>î,,B-i-'- **?,»-.].

les fonctions a des seconds membres étant périodiques de première espèce, et liées entre elles par des relations qu'on déduit facilement des équations (i52).