Considérons l'équation

,„ . d"y pi dn~iy pn

dxn x dxn~l x11 J

et supposons les coefficients p, , p-2, ...,pn holomorphes dans le domaine de l'origine. On peut, par une substitution un peu différente de la précédente, ramener cette équation particulière à la forme (2) (§ 3). Ce calcul étant important dès maintenant, posons

y = a?B 1 un,

dZ = xn-tUrl u

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. Nous aurons d'abord

du\ pi dx ~ x

"■ut

et ensuite nous obtiendrons les deux équations

dky „ i- , dxk

dk+ly dxk+l

— xn,-k-ï Un-Ic-i,

d'où nous tirerons

( Il — k — 1 ) x" " — — \-x , , t-

<£r ' «te

ou encore

dun-u Un-l.-i ( n — k — i) a,,-/,dx ' x x

Nous aurons donc le système d'équations linéaires et homogènes de la forme (2)

diii x -r-i = piiii-h.. . -t- />«"«, dx

du< dx

du-, dx

du%

du n

= tt/1-1- (« — !)"«■

22. 11 est utile, pour la suite, de former l'équation F(r) = o de la forme (7) J§ 3), en supposant que l'on ait

p = p« -+- p' x -+- pw x2

Celle équalion a la forme

P'i-r pï 1 —\—.r

On remarquera que les mineurs du premier ordre du déterminant que l'on \ient d'écrire ne peuvent avoir d'autre plus grand commun diviseur que l'unité.

En effet, le mineur

est égal à l'unité.

Nous verrons plus tard les conséquences importantes de ce fait (Chap. IV).

ÙÏS. Revenons à l'équation générale

dx" Jl dx"-*

-pnyn,

qu on peut ramener au système

dx -M* + — +**?*>

dyic

par les substitutions

; Yk-i

dx''-><

Le déterminant d'un système de solutions du système d'équations (3o) peut se mettre sous la forme

dy\

dy»

dx"-*

d"-iy„

dx"~*

S'il est différent de zéro, les n fonctions y, , y2, . . . , yn sont linéairement indépendantes; car, s'il existait entre elles une relation linéaire et homogène à coefficients constants de la forme

Cjjci-)- C2r2 + ■ • •+ <Vr« = °> la même relation existerait entre les dérivées successives, c'est-à-dire entre les

SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. 23

cléments des diverses colonnes de D. Donc D serait nul identiquement, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Lorsque l'on a D ^ o, les n fonctions y\,y-2, ..: ,^«, qui sont appelées dans tous les cas des intégrales de l'équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n, forment alors un système fondamental d' intégrales de cette équation différentielle.

On a toujours

(36) J) = CefPi<ix,

puisque la somme ~aa se réduit à pt dans les équations (3o).

Si le déterminant D est identiquement nul, il existe entre les intégrales^,, j'2, . . . , y„ au moins une relation linéaire et homogène à coefficients constants. En effet, d'après le n° 11, il existe plus généralement n relations de la forme

(Ï£ =JV: * = ».- ,...,«-.)•

Entre n -+- i intégrales il existe toujours une relation linéaire et homogène à coefficients constants. En effet, d'après le même numéro, on a plus généralement n relations de la forme

Nous énoncerons encore les théorèmes suivants :

a. Toute intégrale d'une équation linéaire et homogène d'ordre n peut s'obtenir par une combinaison linéaire et homogène à coefficients constants des intégrales d'un système fondamental.

(3. Si l'on substitue aux intégrales d'un système fondamental d'autres intégrales déterminées par les relations linéaires et homogènes à coefficients constants

% = Ciiyi -+-. . .+ Ciny„ (» = i,2,. ..,«),

on obtient un nouveau système d'intégrales à condition que le déterminant des constantes de la substitution soit différent de zéro.

Toutes ces propriétés peuvent se démontrer directement. Les démonstrations directes sont très connues, surtout depuis la publication du premier Mémoire de M. Fuchs sur les équations linéaires (1866).

24. Soit u une intégrale donnée de l'équation différentielle (27) et, par suite, soient

du d- u rf"-' u

dx dx- dx"-1

les éléments d'une solution du système dfk

Posons d'où

yk-y (* = 2, 3,

yn=y = ut>,

dx dx-

+ vd*'

dx^

du dv d- u dx dx dx-

d"~xy dn~1v n — 1 du d"—-

rf«-i|

y{ dx"-1 ~~ U dx"-1 + 1 dx' dx"-' """ " ' " " dx" -« '

Portons ces valeurs dans les équations (3o). Cherchons le coefficient de v dans la première équation (3o) ramenée à la forme

dv,

dï-P^ — •— *>«?"= °:

Nous trouverons

— • • . — fn u,

c'est-à-dire zéro, puisque u est une intégrale de l'équation (27).

Les autres équations (3o) seront identiquement satisfaites, en vertu même de la définition de l'inconnue v.

11 résulte de là que, si l'on élimine les variables y, ,y2, ...,yn, les équations (3o) fourniront des équations où entreront les seules inconnues

dv d1 v d" v

dx dx- dx"

et, par suite, en posant

= t, d'où v — I t

, t dx, dx

on pourra prendre pour inconnues nouvelles t et ses dérivées. Nous poserons

= ta-i,

fit

dx"—2

0'abord, chacune des équalions (3o) de la forme

dyk ,

-j- =yit-\ 1 k = 2, j, . . . , a \

étant identiquement satisfaite, il ne restera que la condition ou

// dv du\y il dv du\y-i

Les doubles parenthèses indiquent des puissances symboliques. On a vu que le coefficient de v est identiquement nul, et qu'on peut prendre pour inconnues nouvelles /,, /., . . . , I „ , .

L'équation précédente prendra donc la forme

(37) '—; =Pl/, + ...+ 1V-i'«-i.

Il est facile de voir que l'on aura

1 [ n dû 1

u L \ dje ' j

.. 1 [ /Un — 1 ) d2 u du

' ■ t = ~ \ 7— r -1- ( « — 1 ) Pi 3— +/>•>« ,

__ 1 1" «(/t — i)...a.i d'-lit ( n — 1)... 3.a.i d:l~-u.

"~l~u\ rTâ... («-Ï7 rfo;"-' ~T~/'' 1.7.. . .(n — 2) rf.r"-2 "h"' •l />»-'" J •

En conséquence, le système (3o) sera ramené à un système de même forme renfermant une inconnue de moins, soit au système

j dl,,

Mais on aura

d»-*-* t dx ■■'-*-»

ce qui correspond à la formule (28).

Comparons ce résultat avec celui que donne la théorie générale. Remarquons d'abord que tous les éléments

ll„ = II, Uii—l

doc"-1

d'une solution du système (3o) sont différents de zéro jusqu'à un certain ordre de dérivation, par exemple jusqu'à

et même ce cas ne se présentera que si u est un polynôme d'un degré en x inférieur à n — 1 .

Dans la théorie générale, on pose

Par suite, les équations

deviennent

d'où l'on tire

y 1, = ii/tÇ/i-

djrt

dut '/'li.

1 duk

En tenant compte de l'équation

dq,,- »/,.!

dx u/c

La première équation (3o) devient

du j dq 1

Par suite, à cause de l'équation du.

■ px «,-+-. . .-v- pn u„.

on a

dq, u, , u„

(4o) -f- = pt - (q2 — g-i"H-... -+-/>„ — (qn—Çi).

(IX U\ ll[

Si l'on pose ensuite

zk = qk— q\,

on aura, en retranchant successivement l'équation (4°) de chacune des équations (39), les équations

dzi. II/. 1 «' un , , ,.

formant un système linéaire et homogène an — 1 inconnues, auquel il faudra joindre l'équation

Il est évident maintenant que la méthode qui est particulière aux équations (3o) et qui conduit aux équations (38), exactement de même forme que les équations données, doit être préférée à la méthode générale qui conduit simplement à des équations linéaires et homogènes.

D'ailleurs, les équations (38) jouissent des mêmes propriétés que les équations en z de la théorie générale. En effet, nous pouvons montrer que si £,, t.2, . . ., t,t, forment un sjstème fondamental d'intégrales de l'équation

dx^> = Pi;fe^+P2r77^ +---+1 '->'• les expressions

Yt = u, Y*=uft1dx, Y«= uftu—idx

forment un système fondamental d'intégrales de l'équation

d"'y dn~ly

dx" ri dx"~

-Pny-

En effet, s'il existait une relation linéaire et homogène à coefficients constants telle que

on en déduirait la relation

Ci -h C2/?irfx-f- G3ft2dx -h...-y-C,lft,l-idx = o,

3o L. SAUVAGE.

d'où, en dérivant,

C>J, + <Vo + ...+ C„ /„-,= .>,

relation incompatible avec les hypothèses.

25. Résumons le paragraphe précédent. Sij-, estime intégrale de l'équation différentielle linéaire et homogène

, , d" y cl"-xy

la substitution

y=}'ift "'•'• conduit à une équation

(40 y— —, = pi -!-!—■ + ••■-!- P»-i«,

dx" ' dx ' l

linéaire et homogène, d'ordre /« — i, et, avec un système fondamental d'intégrales de l'équation (4')i on peut former un système fondamental d'intégrales de l'équation ( 27).

De l'équation

r, «te obtenue plus haut, on lire

/ P, dx = — 11 Log/, -1- //)[ dx,

cl, en appelant D| le déterminant D (équation 35), correspondant à l'équation (39), on voit qu'on aura

De l'équation en t, au moyen d'une solution l,, on passe à une équation en x linéaire et homogène d'ordre n — 2, etc.

Soient y, , t\ , t, , . . . , <r les diverses intégrales supposées successivement connues, on voit facilement qu'on aura la relation

D = Cy"t t'l~l ■&}-*... a.

On peut voir dans le Mémoire de M. Fuchs les conséquences que l'on tire de celte dernière relation.

SYSTEMES l) EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES.