Considérons maintenant un système d'équations
(A) X;=ffi,.l7l + ...+ fll.s7„!
dont les coefficients a sont doublement périodiques, et dont l'intégrale générale est uniforme, avec le seul point x = oo pour point singulier. Nous poserons, d'une manière générale,
Y m(x) = m0(x) -h Wi(.r) -+-. . . + .r"< m„,(x),
les fonctions rv(x) étant périodiques de seconde espèce, à la période w et au même multiplicateur s, et
]'',„( x) = m'0 (x) -+- xtz\(x) -+-. . .-+- x'" m'm(x),
les fonctions vs' étant périodiques de seconde espèce, à la période w', et au même multiplicateur s'.
D'après les formules (i5a) du n° 107, le système (A) admet un système fondamental de solutions dont chaque groupe est de la forme
yi,m =Po;i(»),
J'l,8^-I=pl,/(*),
Ce groupe appartient à un multiplicateur s, racine d'une équation fondamentale S. 18
D'ailleurs, d'après les théories générales du Chapitre IV, toute solution appartenant au même multiplicateur est une combinaison linéaire d'éléments caractérisés par les relations (r 54)- Observons cependant qu'il peut y avoir plus d'un groupe de relations de cette nature.
En d'autres termes, soit R(s) = o l'équation fondamentale aux multiplicateurs ; s,, c2, . . ., Eji les racines distinctes de cette équation. A l'une de ces racines e* d'ordre de multiplicité p.A- correspondront un ou plusieurs groupes de relations de la forme
"£,,, = Pfz(*) )
de manière que, v* étant le nombre de ces groupes, le nombre total des relations soit [x/j. Toute solution appartenant au seul multiplicateur e* est une combinaison linéaire des [jt* solutions précédentes.
Ce théorème résulte de considérations identiques à celles qui terminent le Chapitre JV.
Mais on peut le démontrer directement sous l'énonce suivant :
S'il existe une relation identique de la forme
entre des solutions formant l ensemble A,, appartenant au multiplicateur s,, des solutions formant l'ensemble A/2 appartenant au multiplicateur e2, .... des solutions formant l'ensemble A,-^ appartenant au multiplicateur s^.; les C étant d'ailleurs des constantes, on a séparément
A/! = o, A,-2 = o, ..., A,jj,= o.
En effet, donnons à x les valeurs successives x + oj, x + i w, . . . , x + ^. — no, et désignons par F?;, FJl;, . . . , F,^ les coefficients des plus hautes puissances de x dans les groupements A(l, . . ., A,;,., nous aurons
C, An(x -+- Xu>) -t-. . .-t- C!iA;(Jl(^-)- lu>) = o (X = o, i, 2, . . ., jj. — i).
Si l'on élimine les C entre ces jj. équations et si l'on ordonne l'équation obtenue par rapport à x, on aura
(i56) Fa+îeF,-2-+-...-i-3flF?(x=o,
où les fonctions F sont périodiques de seconde espèce au multiplicateur e, s2 .. . e^..
Cela résulte de la forme même de cette équation quand on l'écrit
An(x) A/i(a?-t- to)
A,-u.(*) A,-[,.(a? + to)
A/, ( a: -t- |x — i oj ) ... A,-m \x ■+■ \k — i to )
De plus, la relation (i 56), dont le premier membre est considéré comme un polynôme en x, doit être identique, sans quoi l'équation algébrique de degré r, en x aurait une infinité de racines. En effet, cette équation pourrait aussi s'écrire
(s, t, . . . S[,.)*[Fn^-0 + Xw)F,-,-i-. ..+ (» + Xw)0F;y = o,
quelle que soit la valeur de ).. Il faut donc que le coefficient FJj,. soit nul en particulier. Or, ce coefficient est
c'est-à-dire que Fj1„(ic) est un produit de facteurs dont aucun n'est nul par hypothèse.
Donc, la relation ( î 55) ne peut exister que si l'on a Ci = o, . .'., Cjj,= o, ou encore, la relation ne peut résulter que des relations séparées
An:
110. Le théorème précédent se traduit d'une manière remarquable par un rapprochement entre deux déterminants R(e), R(e')-
Considérons, en effet, les groupes des solutions qui correspondent à la période to et au multiplicateur s* comme formant un groupe unique; appelons G ce groupe. Le nombre des solutions contenues dans G est p.*, c'est-à-dire le degré de multiplicité de la racine s* dans l'équation R(e) = o.
Toute solution qui admet le seul multiplicateur s* se tire d'ailleurs de G par des combinaisons linéaires.
Cela posé, soit ç,-y(#) une solution quelconque contenue dans G, z>,j (x -+- w') sera aussi une solution puisque les coefficients du système différentiel proposé (A) admettent aussi la période to'. On devra donc avoir
<Bij(x -+- tu' ) = La tpa -+- . . .-+- L,-|
Jt36 L. SAUVAGE.
Ces relations étant absolument les mêmes que les relations ( 1 5 1 ) du n° 101 , on en déduit immédiatement les mêmes conséquences, à savoir celles du n° 104.
On peut diviser les relations cp,y- en groupes correspondant aux diviseurs élémentaires du déterminant
de manière que, si (t'h — s)e/< est un diviseur élémentaire de R(s'), on ait un groupe de solutions linéairement indépendantes qui satisfassent aux relations
(i5-) Y(<j=47'cr-i- yiiv-i (<j = i,2, ...,e/j).
Nous retiendrons de ce théorème qu'à toute racine distincte de l'équation R(s) = o correspond au moins une solution satisfaisant à l'équation Y; = é'j',-, s' étant une racine de R(V) = o, et nécessairement aussi une racine de R, (s')=o, c'est-à-dire de l'équation fondamentale relative à la période m'.
En conséquence, puisque à toute racine s correspond au moins une racine s' et réciproquement, il faut que lès deux équations R(s) — o, R, (s') = o admettent le même nombre de racines distinctes et ces racines correspondent au nombre de groupements incompatibles entre eux qu'on peut faire avec les solutions, comme on l'a expliqué au numéro précédent.
111. Maintenant que les déterminants R(s), R(s') ne se décomposent pas en diviseurs élémentaires parallèles, le fait est possible, comme l'a prouvé M. Floquet [Sur les équations linéaires à coefficients doublement périodiques (Annales de l'École Normale supérieure, n° 29; 1884)]. Il existe cependant des rapports entre les deux décompositions en diviseurs élémentaires et la nature des solutions. Par exemple, si l'un des déterminants R(s) n'a que des diviseurs élémentaires simples, il en est de même de R(s') et le système proposé a tous les éléments de ses solutions de forme doublement périodique de seconde espèce (Floquet, loc. cit., n° 6). Sans insister sur ces considérations, malgré l'intérêt qu'elles présentent, nous signalerons les beaux résultats donnés dans un cas particulier par M. Picard (Journal de Crelle, 1881).
Considérons les trois équations
du
—f- = — AV -+- B IV,
ax
, dv (i58) \ j- = Au — Cw
-=— = — B u -h G dx
SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES.
Remarquons en passant que ce système jouit de la singulière propxïété de coïncider avec le système obtenu en changeant les signes de A, B, C et en permutant les coefficients symétriques par rapport à la diagonale principale du déterminant
Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point, et d'une manière plus générale, dans le Chapitre VIT.
Nous supposerons que A, B, C sont des fonctions doublement périodiques ordinaires de x aux périodes ik et iik' .
Admettons que les éléments du système ( 1 58) soient des fonctions uniformes dans tout le plan, comme les coefficients des équations proposées.
(a). Soient
trois solutions distinctes. On aura identiquement
(llio) U„,Un-i- VmVa-h WmWn= CinR) (/»,« = t, 2, 3),
à cause des équations ( 1 58) satisfaites par deux solutions quelconques, même confondues pour m = n. Il y a six relations de la forme (160).
Nous imaginons que chacune des solutions correspond à un multiplicateur sm pour la période %k et à un multiplicateur è'm pour la période 21k', m prenant les valeurs successives 1, 2,3.
i° Supposons que les constantes C, 1 , C22! C33 ne soient pas nulles toutes les trois, et soit Ci 1 <o .Alors la fonction iq + ç-t 4- w] admettant les multiplicateurs s^ et s',2 et n'étant pas nulle, on devra avoir s'f = s',2 = 1 , puisque le changement de x en ;r+2Â:eten.r + 2 ik' ne peut altérer Cn . Donc le système ( 1 58) admet au moins une solution doublement périodique.
20 Si l'on a CH 3= C22 = C33 = o, les trois autres constantes ne peuvent être nulles à la fois. Car, si les six constantes étaient nulles, on tirerait des équations (160), pour une solution quelconque U, V, W,
ce qui est impossible puisque, pour une valeur donnée de x, on peut imaginer arbitrairement les valeurs de U, V, W.
Soit alors C|2<o. La fonction
admettra les multiplicateurs s, e2 et s\ e'2) et aura une valeur constante différente de zéro. On aura donc
Mais le déterminant formé par le tableau (109), a pour valeur
QeSo.xdx = une constante.
D'ailleurs, il admet les multiplicateurs eiSoSii et e'4e'0e'3. On a donc aussi
11 résulte de ce qui précède que l'on a
c'est-à-dire que le système ( 1 58 ) admet encore au moins une solution doublement périodique.
((3). Nous rappelons que nous appelons fonction périodique de seconde espèce toute fonction qui admet les deux multiplicateurs s et s' dont l'un au moins diffère de l'unité, et nous avons supposé, dans le cas (a), que le système ( 1 58) admettait trois solutions de celte nature. Nous en avons conclu l'existence d'une solution doublement périodique au sens ordinaire du mot.
Nous supposerons maintenant que le système (1 58) n'admet que deux solutions Mi,*',,»', et M3,i'3,fv3 doublement périodiques de seconde espèce, et nous imaginerons une troisième solution u2, c2, iv2 distincte des premières. Nous avons vu dans la théorie générale qu'on peut choisir cette solution de sorte que l'on ait
Uî (a; ■+■ 2 k) = ei Ui -h au,,
v-i(x ■+- ik) = t, v, ■+■ av,, ,
w,(x -+- il;) = t, ii's-f- awi,
a étant une constante; on aura aussi et en même temps
Uî(x-h iik') = e, jt2 + bu,, ('2(2; -I- lik') = e'| w.2-i- bv,, ivz(x -+- lik') = z\ iï'2+ bn>,.
Si l'une des constantes CH ou C33, par exemple CH n'est pas nulle, on a vu qu'il existe une solution doublement périodique.
Le seul cas à discuter est celui où l'on a Cn = C33 = o. Si C,» n'est pas nul,
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 1 3p
on aura e* = e'1*'='i, car l'expression u, u2 ■+■ p( v2 + w« Wo se transforme, par le changement de .r en a; -+- i k, ene;(«|M2 + i'i c2 + <v, tv2). On aura donc s^ = i et de même s',2 = i. Donc il existe une solution doublement périodique.
SiCn, C33, C,o sont nulles à la fois, soitC22^o. L'expression u\ -+- v\ -+- wl devient, en changeant aTen x + 2 A-, z\(u\ -+- v\ + (vij), d'où l'on tire encore les mêmes conclusions que dans les cas précédents.
SiCn, C33, C22, C|2 sont nulles à la fois, soit Cl3 < o, on aura e, e3 = 1, et, si enfin Ci3 = o, on aura encore la relation st e3 = 1 , car on a
U2ll:i-h P2<>3+ W2W3 = Ci3,
et nécessairement C23^o, comme on l'a vu plus haut.
Mais le tableau ( 1 59) est un déterminant constant qui donne les relations
quand on change x en x ■+ ik ou en x -+- iik'. Donc, à cause de l'une des relations
et de celles qu'on vient d'écrire, l'un des multiplicateurs S] ou e3 sera égal à 1, l'autre e' étant égal à ± 1. Dans le cas de s' = — 1, on considérera la période f\ihJ . Donc, il Y a une solution doublement périodique comme dans les cas précédents.
(y). Supposons enfin qu'il n'y ait qu'une solution u, ot w, doublement périodique de seconde espèce, deux autres solutions pouvant être choisies de manière à satisfaire aux relations
it-iix -t- 2/:) = î] m2 -+- aiii, v,(x -t- ik) = £1 1\ -T- «('1, w.2(x -+- ik) = e, w,+- awt, u3( ' x -t- 2/.) = S( u3 -t- blli -+■ CUi, v3 ( x -+- 2 k ) = £1 v3 -t- bv, -t- cvt, n'3.(x -+- ik ) = S] W3 + bw% -f- cu'i.
On verra, au moyen des équations (160), que l'on a toujours ej = 1. D'ailleurs le déterminant ( 1 48 ), qui est constant, permet déposer sj = 1 : on aura donc s, = 1 . De même, s', = 1 . Il y a donc encore dans le cas (y) une solution doublement périodique.
112. Pour déterminer les formes analytiques des éléments des solutions satisfaisant à la fois aux conditions (i54) du n° 109 et aux conditions (157) dun° HO,
l4o L. SAUVAGE.
nous rappellerons d'abord quelques propositions de la théorie des fonctions elliptiques.
On démontre l'existence d'une fonction 9 satisfaisant aux relations
0(3- + co) = O(a-),
6(ar+to') = 8(a;)e ™~~ ,
De ces relations on déduit, en prenant les dérivées logarithmiques,
6'(a?-Hio) 8'0) 6(#-mo) — 0(a?) ' O'Q-t-co') 8'(3?) it.\/— 7 0 ( .r -+- co' ) ~~ 0(;r) ûj ;
de sorte que, si l'on pose Z(#) = „-; — r-i on a les relations
Z(x + co) = Z(x).
Z(x -+- co') = Z(x) -!- (7, a>q = — a-/ — i .
Au moyen de la fonction Z(x) construisons les fonctions
• B(«)=J^=rZ(^ et «<» = - -^=.rZ(*)-^l-
Nous aurons les relations
ît(;r -t- co) = i((;r), it'(;r -+- co) = u'(x) — co,
u(x ■+■ co') = u(x) — co', u'{x -+- co') = u'(x) et
U -t- II' -h X = O.
ÎNous allons montrer qu'on peut exprimer les éléments des solutions des systèmes à coefficients périodiques et à intégrales uniformes au moyen de ces fonctions u(x) et u'(x).
