Considérons l'expression

Vm(x) = m0(x) -t-. . .-h x'"vsm(x),

de multiplicateur s par rapport à la période w, et admettant co' comme seconde période avec le multiplicateur s'; nous aurons

P(a?-f-co')= s'P(.r),

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. I !\l

c'esl-à-dire

ra0O -+- w') -h (x ■+■ co')Tni(a: -t- 10') TJp. . .-H (a; -H <o')'»7ïJ,„(a? -t- 10') = E'fnj^r) -i- xur^a?)-^. . .-t- x"!vsm (a?)].

Identifions les deux membres par rapport aux diverses puissances de #, nous aurons les m -f- i équations

,. m — /:-hi , , ,.

TO,«A-(a? -t- 10 ) H 10 CT m-k+\ \X -t- 10 )

li)'2BTm-*+s (37+ U)')

io'*nr,„(a7 -+- <o')

Ces équations donnent

"»»(a? -+- u>') = e'nrm(a?), ra,„i (a? + to ) = eio njm(a;) -t- e Tïï,„i(a-),

= E'ra,„i(a7) (A- =o, 1,4, ..., m).

,. '. ., ml m — i)...(m — A -t- i) , ,,. . . , (161) { oxm*(a? -+-«') = (— i)* — ^-r 'E'co'*BJ,ft(ar)+..

Ej,„i-H(a?)H- e'nsm-A-Ctf),

\ cj0(a?-<- to') = (— i)'"s'co''"ro„, (a7)-+-...-Hs'ra0(^).

De ces relations, nous déduisons les conséquences suivantes. Soit posé

on a

ra,„i(a? -+- w') cj„,i(a") ,

d,„(a;-f- co') 73m(a7)

Par suite, la fonction

ra„, (a?)

— mu(x)

est uniforme et périodique aux deux périodes w et w'. Soit y\{oc) cette fonction doublement périodique.

Posons

Xi(a?)ra,„(a7) = ts10(x). Nous pourrons écrire

ra„, i(x) = raio(a7) H cToo(ar)«(a?)-

Nous allons montrer que l'on peut poser, en général,

i, n r •. m — k-hï , . . .

mm-/;(x) = cj/l0(^) h wn—iti,(x)u{x) -+- 'T3k-2,<>(x)u*(x)-h. ..

I m(m — i).. (m-/c + i) r„\„kr~\

Admettons que la loi soit vraie pour l'indice A- — i, nous pourrons toujours écrire la relation (162) où mk<,(oc) est une fonction à déterminer.

Cette fonction w^-0(x) sera nécessairement uniforme, périodique de seconde espèce avec la période w et le multiplicateurs; nous allons voir qu'elle admet encore comme les autres fonctions ray0 la période w' avec le multiplicateur e'. En effet, on a

izm-i<(x + (û') = vsto(x-t- ta') + e' cj/.-.i,o(^)[m(^) — tu'] -h...

-4-e t nJoo(a7)["(^) — to | ■

D'ailleurs, l'une des relations (i5o) donne

,. , .,m(m — i)...(m — k-i-\) , ,, . xnm-k(x -4- u>') = (— 1)*— — —£ s u'*ra00(a-) -h. . .

^■o(a;)H vs/c-1}<s(x)u(x)-ï- . . .

En égalant ces deux valeurs de rsm^(x -+- w'), on a

TZkoix -t- U>') = E'ra/l0(^)i

ce qui démontre la proposition qu'on avait en vue. 114. On déduit de ce qui précède que l'on a

Pm(x) = wa(x) -+-. . .+ x"lwm{x)

= [nr,Ko(a;) -+- xwm-it„{x) -+■. . .-+- x'"w00(x)

- — - — - — m(m — 1) . . .2. iTjjoi)(x).

Chacune de ces parenthèses est une dérivée de la première d'entre elles, lors-

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l43

qu'on j considère les fondions 5jy0 comme des constantes. On peut écrire, avec cette convention,

u(x) dU(x) [u(x)]»> d>»n(x)

Pm(x)=U(x)

àx i . 2 . . . m dx"

Remplaçons x par x + u(x) en dehors des tzj0(x) dans II (x), nous aurons précisément l'expression Pm(x) que nous venons d'écrire. Mais x -+- u(x) = — u'(x). On a donc

Pm(x) = CTmoO) — wm-ifl(x)u'(x) -+- ra,„2,o (#)[«' (s1)]2 + • . .+ (— r )»'tzij0(x)u"'(x),

ce que l'on peut écrire

en posant

( — iyram-Jt0{x) = T.j(x), et en particulier

-mi*) =(— l)"'BJ0o(*) = (-l)"B»(ï).

Donc, quand fa forme Pm admet le multiplicateur s' pour une seconde période w', on peut poser

les fonctions 'x(x) étant doublement périodiques de seconde espèce et aux multiplicateurs e, s' avec les périodes w, w'. Les deux formes de P,„ sont toujours du même degré en x et u'(x). Car les coefficients mm(x) et tz,„{x) des termes du plus haut degré sont égaux au signe près.

115. De même, l'expression P^ au multiplicateur s' avec la période w', admettant w comme période de seconde espèce au multiplicateur s, peut se mettre sous la forme

(i6 l) P'„, = ic'0 {x) 4- ir',0) u(x) -K ..-+- TJm,{x) u"''(x),

les fonctions -' étant périodiques doubles de seconde espèce.

116. Si une fonction F(x) peut se mettre sous les deux formes Pm(x) et P'0(ic), on peut lui donner la forme (i63). De même, si elle admet les deux formes P0(^) et P'm,(.r), on peut lui donner la forme (164).

Cet énoncé est le résumé des numéros précédents.

117. Cherchons maintenant l'expression d'une fonction F(x) capable des deux formes Vm(x) et P'm,(x) où aucun des deux nombres m ou m' n'est nul.

Supposons que l'on puisse ramener la forme

Pm(x) = m0{x) +. . .-t- x'" m„,(x) à la forme

P,„'(a?) = m^x) -t-. . . + xm'mm'(x).

Il faudra que l'on ait identiquement

T30(x) -h . . .-t- X"1 TZm(x) = P'm,(x),

et par suite, en changeant x successivement en x -+- u>, x -+- 210, . . . , on aura les relations

(th0(x) -+- . . . ■+- x'" mm(x) = P'm,(x), s m0(x) -H. . .-t- (x -t- <!))'"£ wm(x) = P'm,(x -+- lu),

\ e'« CT0(ar) -(-. . .+ (a? + mu)'"s>"izm(x) = P'm,(a:-l- /;ïco) suffisantes pour déterminer w0(x), . . . , T3m(x). On aura

w,,(x) = I f A0 P;„,(a-) -h. . .+ A„, P;„,(« H- otw)],

et il est facile de calculer les déterminants A.

Dans le dénominateur commun A, on peut mettre en facteur

et l'autre facteur devient le produit des différences mutuelles des m + 1 quantités x,x-\-u, ..., x 4- mu, c'est-à-dire est égal à

w 2 . 1'" .2"t 1 . . .(m — i)2//i'. On a donc

mfm-hl) A = (EU)) 2 . I'".2'"-'...(/M — i)2/?!1.

Quand à l'un quelconque Ay des autres déterminants, on l'obtient en suppri-

mant la (j + i)ième ligne et (k -+- i)ième colonne. On peut donc mettre s ~ en facteur et l'on a un second facteur qui est le produit des différences mutuelles des m quantités x -+- Xto (où X = o, 1,2, ...,/' — i^' + i, ...,»?) multiplié par la somme Sy!„,/t de leurs produits /n — A" à m — k. On a donc, après un calcul facile,

m ( m -4- 1 ) MlM-ll

Ay-= (—!)'«+*£ 2 10 2 ['»-'.2'»-2...(ffl-l)'Ci1S|/,,„-t,

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l45

d'où l'on tire

A (Eco)"* i .2. . .m

où C{j est le nombre des combinaisons de m objets j à/. Par suite, on a

!C?„ S0),„/..ô'" P'„„0) - Cî,Siim ft6'»-».P'n„(a! ■+• 10 ; + ( ()/«-i c;;;-1 es,,,-,,,,,.* P,„,(a? + m — i a.) ■+- (— i)"< C™ Sm>,„AP'm,(a; + nito)

Si l'on pose d'une manière générale

f{x ■+- mw) — G;r' e/<> + m—ito) +...+ (- i)'« s'« /(a;) = SL"" /(a;), on aura, en particulier,

v ' (eto)'» i .a . . . ni

On voit, par conséquent, que tB>(.£) est une fonction linéaire homogène des quantités V'ml(x), ..., P'm,(#+mw), dont les coefficients sont des polynômes en# tous de degré m — k. Or, ces quantités P' sont des expressions de même forme que Vm,(x), de même multiplicateur s' et de même degré m'. Donc ns^^x) est une expression de la forme Vm,(x) de même multiplicateur e' et d'un degré égal ou inférieur à m1 '+ m — k.

Faisant successivement k=m, m — i, ..., i, o, on aura pour mm(x), ram i(#), . . ., ra,(#), ra0(.z) des expressions de la forme Vm,(x) du même multiplicateur e', mais de degrés respectivement égaux ou inférieurs à m', m'-i-i, m! + m — i, m'-\-m. Les coefficients des termes du plus haut degré sont dans ces expressions

( eto )'" i . 2 . . . m — C,'„

(êlù)'»I.2...7W

\ (sto)"1 t .2. . .m

?"Éw'm/(a;),

8™ io'm,( a?),

Si" crj„,(a;),

et ne diffèrent mutuellement que par des facteurs constants.

Donc, si les deux formes Vm(x) et Vm,(x) représentent une même fonction, chaque coefficient de l'une admet la forme de l'autre ainsi que son multiplica-

leur, mais avec un degré égal ou inférieur à la différence enlre m + m' et l'exposant de la puissance de x qui multiplie ce coefficient.

Pour /?i'=o, on voit que nj,„(.r) est du degré zéro, c'est-à-dire, ce qu'on a déjà vu, que si Pm(x) admet la période w' au multiplicateur s', le coefficient ro„, (x) de la plus haute puissance de x est doublement périodique de seconde espèce comme Pm(x) lui-même.

118. Soit maintenant F (x) capable des deux formes Pm(x), P'm,(x); il faut que les coefficients rsj(x) de Pm(x) soient de la forme P'm,(x) avec des degrés respectivement égaux, en général, à m', m1 -f- i, ni'+m. On aura donc

Wm-k(x) = CT/,.0(.r)-t-. . .-{- x"l'+,i ™'/c,m+/c(x:) (/c = O, 1, 2, . . ., m),

les fonctions m' à deux indices étant entièrement analogues aux fonctions ro' à un seul indice clans P'm,(x). Remarquons que l'on a, d'après la formule ( 1 66),

g*,m.+*(*)=(sM)mi>a TO°M.gOT,(g).

Mais le second membre de l'équation ( 1 66 ) admet comme le premier membre la période to et le multiplicateur s. On a donc

ns,n-i,{x) = n'/,()(.r) -+- n'tl(x) K(a?)-H...-H ïl'/cmi+kiz;) u»l'+lcXx)i

où les fonctions II' sont doublement périodiques de seconde espèce aux multiplicateurs s et s'.

Rappelons en même temps que l'on a

nÂ,m,+*(aO = (- 0'"'+''' <,„,+*(»>

La fonction considérée F(x), qui est égale à P„,(.r), s'exprime de la manière

F(af) = Um+m. + arU,B+,B'i-t-...H-a!'»Um',

en désignant par Um'* un polynôme en ?;(.r)de degré m'-\-k, dont les coefficients sont doublement périodiques de seconde espèce aux multiplicateurs e et s'.

119. Si l'on dirige le calcul de manière que l'expression P'm,(x) soit susceptible de la forme Pm(x) on obtiendra pour F(x) l'expression

FO) = U'm+,„, 4- xM'm+mt-l +■••-+- »'"' U'„„

où U'm+A désigne un polynôme en u'(x) de degré m-\-k, dont les coefficients sont doublement périodiques de seconde espèce aux multiplicateurs s, s'.

Nous nous proposons de mettre F(x) sous une forme finale qui renferme à la

SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES. l\J

fois les deux formes Pm(x) et Vm,(x). Mais nous aurons besoin de quelques théorèmes préliminaires.