Si le polynôme en u(x

dont les coefficients 'b' admettent la période w' au multiplicateur s', est nul identiquement, tous ses coefficients sont identiquement nuls.

On a, en effet,

i('„(x ■+- ku>') -+- <];',( a? -+- ku>') !<(a? + /rio') + . . .-+- J^(# -+- km') uP(x -h /eu') = o,

ce qui s'écrit, en divisant par ek et quel que soit l'entier k,

Y0(x) -+- ■\i'(x)[u(x) — km'] ■+-. . .+ ^[«(a;) — *co']p= o.

Le polynôme en z

<K,(aO + y(*)*+...-l-<!/;(aO*P

a donc infinité de racines et, par suite, les coefficients <!/ sont identiquement nuls.

De même :

Si le polynôme en u'(x)

ty0(x)-hty{(x) u' (x) + . . .+ typ-(x)[u'(x)]?',

dont les coefficients admettent la période u avec le multiplicateur e, est identiquement nul, tous ses coefficients sont identiquement nuls.

De ces deux théorèmes, on déduit que :

Si un polynôme aux variables u(x) et u'(x), dont les coefficients admettent les périodes 10 et u>' et les multiplicateurs e et s', est identiquement nul, tous ses coefficients sont identiquement nuls.

En effet, ordonnons-le par rapport à u(x). Les coefficients de u{x) sont de la forme <]/, donc ils sont séparément nuls. Mais ce sont des polynômes en u'(x) dont les coefficients sont de la forme ty(x). Donc les divers coefficients de ces polynômes sont identiquement nuls.

Comme corollaire :

Si deux polynômes aux deux variables u(x), u' (x) dont les coefficients

admettent les périodes w et w' avec les multiplicateurs e et e' sont identiques, tous leurs coefficients sont identiques chacun à chacun.