Nous avons trouvé

F(x) = U,„.+„, + arU,„.+„M +-. . .-t-a?'"Um.

En dehors des U remplaçons x par — \u(x) + u'(x), ce qui est possible, puisque l'on a par définition

Nous aurons

F(.r) = U,„'+m—[M(^)-t-"'(^)]U„,'+,„-i + ...+ (— i)'"[îi(;r) -4- ;i'(^-)]'»U„i'.

C'est un polynôme aux deux variables u(x) et u'(x)à coefficienls doublement périodiques de seconde espèce, de degré m en u'(x). Je dis qu'il est de degré m' par rapport à u(x).

En effet, on a aussi

F(r) = U'm+m,— [u(x) -+- îi'(a?yjU;„+,„,, + . . .+ (— i)'"[«(a:) + u'(z)]'"'U'm,

et celte expression doit être identique à la précédente. D'après les théorèmes du n° 120, il faut que F(x) soit du degré m' par rapport à u(x). En résumé :

Si une fonction F(x) est capable des deux formes V„,(x) et Vm,(x), elle coïncide avec un polynôme aux deux variables u(x) et u'(x) à coefficients doublement périodiques aux périodes lu et io' et aux multiplicateurs s et s'; elle est de degré m -+- m' en général, et est toujours de degré m en u'(x) et de degré m' en u(x), et ne peut s'exprimer ainsi que d'une seule manière.

122. Nous avons vu que, dans tous les cas, le système (A) du n° 109 admet m solutions distinctes susceptibles chacune des deux formes P et P'.

Il résulte de ce qui précède que les éléments de ces m solutions peuvent être

mis sous la forme

ytk= Rm(", u\ x),

où R(x, u, u1) désigne une expression de la nature de F(jc) dans le numéro précédent.

123. Comme exemple d'intégration du système (A), nous rappellerons que M. Picard a intégré le système

du v dv u w dw v

ds R ds R /■ ds r

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. I^g

où R. et /■ désignent les deux rayons de courbure d'une courbe dont l'arc ests, et u, c, cv> représentent les neuf cosinus des angles que font avec les axes de coordonnées la tangente, la normale et la binormale de la courbe. M. Picard a intégré ce système de la forme du n° 111 dans le cas où l'on a

a et b étant deux constantes, n un entier positif et dn:r la troisième fonction

elliptique.

Nous renverrons, pour cet exemple, le lecteur au Mémoire de M. Picard, où il

trouvera les détails nécessaires pour le calcul, et des explications sur l'origine de

ces questions dans les profondes recherches de M. Hermite sur l'équation de

Lamé

-^ = [n(n + i)/c*sn2.r + h]y,

où sn.r est la fonction elliptique ordinaire de module />-, n un entier positif et h une constante quelconque.

IJO L. SAUVAGE.