DES SYSTÈMES D'ORDRE QUELCONQUE ET THÉORÈMES COMPLÉMENTAIRES
124. Il est facile d'établir qu'un système d'équations différentielles d'ordre quelconque peut être remplacé par un système d'équations du premier ordre. Soit, en effet,
un système de n équations différentielles, d'ordres variés par rapport à des fonctions Z\, . . ., zn d'une même variable indépendante x. Ce système renferme aillant d'équations que d'inconnues. Prenons pour inconnues auxiliaires les dérivées successives des variables s,, . . ., :•„, nous aurons le nouveau système
renfermant A, + X* + . . .+ X„ équations du premier ordre, si l'on appelle X,, X2, . . ., X„ respectivement les plus grandes valeurs des nombres Xy,, . . ., Xy„ dans les équations (167).
Il est évident que l'intégration du système (1 67 ) entraîne celle du système (168) et réciproquement.
12o. On peut remplacer le système (167) par un système analogue au système (168), mais de forme plus symétrique.
En effet, on suppose implicitement dans le système (167) et, par suite, dans le système (168), que les premiers membres des équations, c'est-à-dire les fonctions F des diverses lettres x, sit z',, . . ., sont indépendants entre eux. On pourra donc
tirer de n — 1 de ces équations n — 1 des dérivées ". (a = X, , . . ., X„), et les
porter dans l'une quelconque des autres; en d'autres termes, on pourra éliminer n — 1 dérivées dans chacune des n premières équations (168), et il faudra que le
dz'}n-D\
"'"'' ' dx '
■ ■ , zn, . .
dx j
ds,
dz&i-* dx
dzn
dzfc-*
dx
nouveau système se présente sous la forme
dzW
• ' Zk 1
/ ,/JM) \
ete
Chaque équation <!> renfermera une dérivée, sinon on pourrait, sans intégralion, faire disparaître, par des procédés de calcul ordinaire, l'une des variables de la question. Chacun des <ï> renfermera une dérivée distincte, sans quoi on pourrait égaler les valeurs des dérivées égales tirées des deux équations <£> = o différentes, et l'on aurait une relation $ = o sans dérivées.
Développons le calcul. Soit
(170) *(*,*,,*;, ..., z,,v">, ...,*„,*'„, ...,zi;:"') = 0
une équation sans dérivées. On tirerait de là l'une des inconnues z'p et on pourrail l'éliminer entre cette équation (170) et n — 1 des n premières équations du système (169), de sorte qu'on ail
(171) +,(», *„*'„..., ««M, ...,«*, z'k, <$-», 4r+,), • • • , zf*. *«, ■ ■ • , «ï«') = o
En outre l'équation
dx
pourrait être remplacée par l'équation
,(r-ll Jim- Il
dx
c'est-à-dire par l'équation (170) quand on y a remplacé z'p par sa valeur tirée de l'équation ci-dessus.
Mais si l'on différentie l'équation (170), on a
On peut encore éliminer 3J/'1 au moyen de la relation — - j — = zlp et l'on aura
l52 L. SAUVAGE.
finalement le système
dx
zi 1
dzjç
zki
dzn dx
dx
dzf*
dx
qui renferme u., +. . .+ ( pt/i- — 1) +. . .+ [/.„ équations à autant d'inconnues.
Le système (172) est équivalent au système (169) puisque toutes les conditions fonctionnelles de ce dernier système sont satisfaites dans le système (172).
En continuant ainsi, on peut être ramené à un système complètement algébrique. Nous écarterons ce cas.
Donc, en général, tout système de n équations différentielles à n inconnues peut être ramené à un système de la forme dite de Jacobi.
126. En résolvant les équations (1 63) par rapport aux dérivées qu'elles renferment, on pourra mettre le système sous la forme
dx
fl(x, j'i, . . . , y m ) (X = 1, 2, 3, . . ., m).
Le calcul est particulièrement intéressant dans le cas où le système (173) est algébrique, c'est-à-dire lorsque les fonctions F sont algébriques, entières et rationnelles par rapport à toutes les lettres qu'elles renferment.
Mettons les équations (1 73) sous la forme
Yi'-+-/u (&> yu ■■•,y/«)YÏ' ' -+- -..-t- /iv, (x,yu ...,ym) = o, yi'm-^-fm\{^,yu ■ ■ ■ , ym^'m"1-^-- ■ ■ + /mï„(^, yu • • ■ ." y m ) = O,
ou 1 on a
dx''
Posons
('75) t = r,lYl
les quantités a étant des indéterminées et formons l'équation
(176) (t-tl) ...(t-ty) = 0,
où N = V| v2 ... v,„ représente le nombre des combinaisons des éléments des solutions des équations (i"4)- L'équation (176) est rationnelle par rapport aux coefficients des équations (174), car son premier membre est une fonction symétrique des racines de ces équations. On peut donc calculer les coefficients de l'équation (176) et la mettre sous la forme
(•77) R(0 = <?<>(», Y\ ym)^^...^ gy{x,yu ...,ym) = o,
où les g sont des fonctions entières des lettres qu'ils renferment. Prenons maintenant d'autres constantes b et posons
(178) tt= bx Y1 + ...+ bmYm,
ce qui donnera N fonctions ut, u2, . . ., «N. Il est évident que, quel que soit p entier et positif, l'expression tptu, +.. .+ t^us sera une fonction symétrique des racines des équations (174) et s'exprimera rationnellement en x, yt, ..., ym. Posons alors
lu, +...+ H.1 = ui0(x, yt, . . ., ym ),
) utt, +...-v-«s«n = tû)(a7, yu ...,ym), ('79) | t
1 Ki*?-1-+-.. .+ Ka<J3-,= tus i(;r, jKi, ••■,7m).
et multiplions ces équations par des facteurs indéterminés ÀN,, \N,, . . ., A, et^3; nous aurons, après addition,
(180) UiQ(«i) +. . .-t- us Q(tx) = ,?i«s-i+ XiWs-ï-i-. • ,+ An iWo,
à condition que 0 soit déterminé par la relation
