S I + X, £*-2 + . . . H- XN i = Q( i
Déterminons maintenant les X, de sorte que l'on ait
Q(#i) = o Q(ta,)=o, Q(ïa+i) = o, -.., Q(*N) = o,
ou, ce qui revient au même, à condition que Q(t) qui est du degré N — 1 en /,
et dont on connaît les racines, devienne —, c est-a-dire
t — fa £„(*-'-+- (gi + g-ota)^-2-^- • ••+- On-1 + ^-!'»+. • ••+- go$T1)-
Alors, en tenant compte de l'équation de définition de Q(f), nous aurons
/ X,= ffi+ ffota, "80
( Xj» -l = £-.N i -t- £\N-2 £(*+•■• +^0 'a"'-
En outre, l'équalion (180) deviendra
g-p (l).\i -+- ^! U)>'2 ■+- . ■ ■ H- Xs-1 tl)p
Puisque, d'une part, les À, d'après les équations (î 8 1), sont des fonctions entières de t-j. avec des coefficients entiers en .r, y,, ..., j)',„ et que, d'autre part, d'après
l'équation = û(f), on a
on voit que ua prendra la forme
, 8 «. „ Si(x,y„ ...,y,n)tl-i-hSî(x,yl, .. ., y,,,)^-^. ..-hS^fx, yu ■■■,;„)
où les S sont rationnels et où R'(fa) ne dépend pas des constantes b renfermées dans «a. En outre, à cause de l'indétermination des constantes a, on peut supposer que R'(£a) n'est pas nul.
Si l'on supposait R' (ta) = o il y aurait deux racines égales dans l'équation (177) et, par suite, une relation algébrique entre .r, yK, y2, •••, y,,,, ce que l'on ne suppose pas.
Soit Y)a, .. ., Y,„a la combinaison des solutions des équations (174) qui correspond à /a et, avec des choix quelconques des constantes b, formons les m équations
/ «iYi« -t-..,-t- amYma = t'a,
buYia -+-...+ bmlYma = S„^-' -+-... + Sm fR'(ta).
(ibj) !
' 6,,,„1Yla-i-...-i-6,„,m 1Y,„a=S1,,„1ï~-1-)-...H-SN,„J 1:R'(^).
Nous pouvons construire les formules
Ypa= Alp^1 + - • --t- A»p:R'(*a).
où les A sont des fonctions rationnelles de x, y,, . . ., ym et R'(a) une fonction entière de degré N — 1 en ta, avec des coefficients fonctions entières des mêmes lettres.
Donc, les branches Y,a, . . ., Y,„a des fonctions algébriques Y( , . . ., Y,„ de x,
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l55
y,, ...,ym sont formées de fonctions rationnelles d'une seule fonction algébrique ta et de ces grandeurs x, y,, . .., ym.
Les coefficients s'expriment rationnellement au moyen de ces quantités, et à chaque combinaison de branches correspond une valeur de t, solution de l'équation (177) et réciproquement. De plus, la forme des expressions obtenues est indépendante de l'indice a de t.
127. Soit g(x, y,, y.,. .. -,ym) le plus petit dénominateur commun des fonctions A,p, . . ., ANp (p = 1 , 2, . . ., m), on aura
. ff-x9{x, yt y,,,)
g{*,yi, ■■■, ym)
et gag et g seront des fonctions entières. On pourra donc écrire
et, si l'on pose gR(t) = G(x, t,y,, . . ., ym), on aura, puisque g ne dépend pas
de /,
Ypa= Gp(x<ta,y„ ...,ym) ^ dG(x, ta,yu . . . , ym ) '
où Gp sera une fonction de x, ta, y{, . . .,y„„ du degré N — 1 en ta. En revenant
,r dy a notation Y = -f-, nous ax
Le système différentiel
à la notation Y = ~, nous aurons ce théorème ax
fh\*>yu •■■'^""^) =° (* = «,», ...,m),
du degré vx en -^-, peut être remplacé par les y,, v2, . . . , v,„ = N systèmes suivants, chacun équivalent au précédent
1 o / * dy\ Q\ < x, ta, y, , . . . , y,,, )
('84; -~ = , *, °"-r" >-S»tL. (« = 1,2 N),
M a (j( X, ta, JK| , . . . , y m )
où G,, Go, . .., G,„ 50«< c/es fonctions entières et oh ta représente successivement chacune des N solutions de l'équation du Ni6me degré
G(x, t,yu ...,ym) = o.
Les fonctions G, , . . ., G,„ 5o/«« du degré N — 1 e« ?a. La forme (184) est dite de Jacobi ou cfe J/. Weierstrass.
128. On peut décomposer G en facteurs irréductibles en t. Supposons que ta annule le facteur g(x, t, y, ...,ym~), on aura
G = g x h(x, t,yu ...,yn),
et /( ne sera pas nul pour t = ta. On aura, par suite,
dG dg- dh
ât ~~ ~dï ~^°~àt' et pour / = t-x
— - h d" àta ~ dta'
On en déduira la formule
Y Gp(.r, ia,yt, ...,ym) ,
dta
Soit n le degré en t de l'équation g = o et soient ta, 1$, ..., t^ ses solutions, on aura
' Gp(<g) = Gp(<a)x/;(^)x...x /i(^) /i(<«) h{ta.)X h(tp)x...x ACfp.;
et Je dénominateur sera une fonction entière symétrique des racines. 11 s'exprimera rationnellement en x, j',, ...,ym. Le numérateur renfermera une fonction entière symétrique des racines de l'équation et — - — — s'exprimera rationnellement
en x, jKt; • • ■) ym- Le numérateur pourra même, au moyen de l'équation g = o, être abaissé au degré n — ï en /a. On aura donc la formule
Y gf(x,toL,yu ■■■,ym)
1 pa : •
ûg
àta
D'où, comme conclusion générale, le théorème suivant :
Décomposons le polynôme R(<) en facteurs irréductibles g,, g2, ■ . ., gG. Le système différentiel proposé pourra être remplacé par les systèmes équivalents suivants, au nombre de N = v( , v2, . . . , v,„
(.85) p = q*<*1ttpy1 ym) (* = ,,„,...,,),
dx àgk
àt/c
où gît, g fa, ..., g/sm sont des fonctions entières de leurs lettres et où Z>p est successivement remplacé par chacune des racines de chacune des équations irréductibles ^ = o.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. I Sn
Il est important de remarquer que la réduction pratique du système (i;4) au système (184) est toujours possible, mais que le passage au système (i85) n'est pas toujours praticable, à cause de la décomposition effective du polynôme R(/) en ses facteurs irréductibles. On a donc seulement démontré l'équivalence des systèmes (174) et (1 85). Nous ajouterons que, dans une équation irréductible telle q«e gk=o, on peut passer d'une solution t à toutes les autres, d'une manière continue en faisant décrire certains chemins fermés aux variables x et y. Donc les systèmes (1 85), qui correspondent aux diverses solutions d'une même équation gk = o, peuvent être représentés par un seul d'entre eux et, par suite :
Le système (i;4) peut être représenté par les 7 systèmes différentiels
1 186 ) clZ± = ^a(T,lx,yx ym)
dx dffk
où ty est une quelconque des solutions des 1 équations algébriques
Sk=o (*=!,»,...,*)■
La théorie que nous venons de faire est générale. Le cas particulier qui nous intéresse est celui où les équations finales (184)011(186) ont leurs seconds membres fonctions linéaires et homogènes de y,, y,, .... ym. L'étude de ces équations a été faite, dans tous les Chapitres précédents, sous la forme (A) du Chapitre I.
129. Puisque nous avons donné la théorie de la réduction à la forme canonique des systèmes algébriques, il ne nous semble pas inutile d'y joindre les premiers principes de V irréductibilité de ces systèmes.
Soient
les équations d'un système algébrique où t, est une racine choisie de l'équation G = o.
Supposons qu'il existe une solution y, , , . . ., rtm dont v des éléments satisfassent à une relation algébrique telle que
Si, dans les équations (184), et avec les conditions G = o et
(,88) /(*,J'i,...,J'v) = oI
on élimine yv, par exemple, on obtiendra un système différentiel à m — 1 équa- 3- 21
l58 L. SAUVAGE.
lions qu'on pourra supposer ramené à la forme canonique
d g{x, Uj.y,, . .., ,rv-|. r,x, y,„) dy\
" dii[ dx
= g\(x,yi, •••• J\-i, >'v-4-i- • •■>^/«) 0. = r,a, ...,v — i , v -f- i , .... m),
et où «i est une solution de l'équation g(x, "j JKd •■•) J'»<) = °> elyii » "I21 ■•■> '4v-i 1 riv+, ; . . ., r\m formera une solution de ce système (189).
Réciproquement, si une partie des éléments d'une solution r,, ,7^, ...,r„„de (184), soit in,, riv, forme une solution complète d'un système à v équation s différentielles
où r, satisfait à l'équation /;(.<', v,,y , yv) = o, appelons lx et r, les valeurs
de /, et c, qui correspondent à la solution r, , , ..., r,,,,, on tirera des équations (184) et (190) les relations
I dO(x, /,, r, r,m) , , — \ à h(x, y,, tj, r,v) / — \
v — — h\(x,vl,T)l, ...,tiV)= = Gx(,j. /i,r,,, ...,r1/M)
dt, dv,
// jk awa c/o/'c rfes relations algébriques entre les éléments de la solution 'lii •••, '1m, à la condition que les équations (191) ne soient pas toutes identiques, c'est-à-dire que les v premières équations du système (1 84) ne renferment que •),, ..., y.,; alors elles formeraient elles-mêmes un système différentiel à v équations. Écartons ce dernier cas, et éliminons de l'une des équations (17D, de l'équation G= o et de l'une des relations
la quantité ym ; nous aurons un système différentiel à m — 1 équations, admettant la solution rM, r,.,, ..., yi,„, et dont la partie v-, , . ..., r,v forme encore une solution de (190). Opérons sur ce système km — 1 équations comme on a fait pour le système précédent, nous obtiendrons un système à m — 2 équations, etc. et, finalement, nous aurons un système de v équations de la forme
dU(xu T,, ri, ..., vv) dy\ , A
où T| satisfait à la relation
Ce système admettant la solution y,,. . .., riv, commune avec le système (180), on tirera de (1 g3) et (190)
, .. à II (x, Ti, r., r,v) , , — \ àh „
(194) "J." —ha{x, (>„r(„ ...,rlV)= -=Ha (*=l,a, ...,-v),
(JTî dp,
où T, salisfait à la relation
(195) H(a;,T7, t(1, ...,7jv) = o.
Si les équations (ig5) n'étaient pas identiques en Y),, . .. , r,v, on pourrait encore diminuer d'une unité le nombre des équations du système (192), et alors une partie rM , . . . , t1v de la solution r, , , . . . , rlm du système (190) serait une solution d'un système à moins de v équations; mais nous supposerons qu'aucune partie de la solution rlt, ..., riv de (190) ne forme une solution d'un système algébrique à moins de v équations. En conséquence, les équations (i g5 ) seront identiques, et, par suite, toutes les solutions de (190) formeront des parties des solutions de (184), et il est évident que l'identité des équations (195) subsiste quand, au lieu de p(, on y introduit une brandie quelconque de la fonction implicite t'( définie par l'équation // (x, c, , y, , . . ., y,„) = o, et que r,, , . . . , rim est remplacé par y,, . .., ym. Il faudra supposer quec, a suivi un cliemin convenable pour arriver à l'une quelconque de ses brandies.
De là une définition de l'irréductibilité.
Le système algébrique et différentiel de m équations est dit irréductible, quand aucune combinaison de moins de m éléments de chacune de ses solutions ne forme une solution d'un système différentiel de moins de m équations. En d'autres termes, le système proposé ne fournit aucune solution à un système que/conque de moins de m équations, algébrique et de même forme.
130. Revenons aux équations (184) du n° 127, et appelons degré du système le degré en t de l'équation algébrique
G(.r, t, yu . ..,ym) = 0.
Nous allons montrer qu'un système irréductible de m équations et de degré n ne peut avoir aucune solution commune avec un système de m équations, mais de degré inférieur à n.
Mettons, en effet, ce deuxième système sous la forme canonique
à £r(x, 9, ri, . . . , y m) dy\ , .
IÔO L. SAUVAGE.
où 9 est une racine de l'équation irréductible de degré v < n,
U9") g(x, 0, ki, ...,/,„) = o,
et supposons que le système (174) et les équations (196) et (197) déterminent une solution commune -/),, . . . , i\m. On aurait
()G(^, Tt, t,i, ..., 7),„j à g(so. S,, t)i, ..., it),„) v
dT, de;
où T| et 0, représentent les valeurs de tt et 9, qui correspondent à la solution 7,1, . . ., 7)m. D'après ce qui précède, puisqu'il ne peut y avoir de relation algébrique entre les éléments d'une solution d'un système irréductible, l'équation (188) ou encore l'équation
Gq(x, tuyu ...,ym) grtjx, 6i,j-|, ..., y,„)
dG(x, lt,y„ ...,y,„) Og(x, 0t, JK| , ■ . ■ , ,K„, )
dix tJOi
doit être identique en ),, . . ., ym, et alors les deux systèmes d'équations (184) et (19(3) se confondent, puisque toutes les solutions leur sont communes. Mettons l'équation (197) sous la forme
(199) 0; -j- i,i,(x, yu ...,/,„ )0"1-' + . . .+ Mv(x,ylt ...,y„i) = o,
où les 03 sont des fonctions rationnelles, et remarquons que la réduction d'un système différentiel à la forme canonique peut toujours être conduite de sorte
que t{, qui est une fonction rationnelle de x, y,, .... ym, -=Pj • • -, ~^ , soit
11 ' J ' J ' dx dx
encore, au moyen des équations (186) et (199), rendue fonction entière de 8, au degré n — 1, et à coefficients rationnels en x, y,, . . . , ym. Alors on pourra poser
(200) /,= Qo(x,yu .... ym ) + Q, (x,ylt . ..,ym)Ol-h...-hiL,-1(x,y1, ■ . ■ ■ , ym)(l'r' .
Alors, à cause de (189), ou encore en éliminant 8,, on aura une équation du degré v en tu et les coefficients seront rationnels en x, yK ,•••', ym- Mais l'équation G= o étant irréductible, il est impossible de supposer que l'équation (187) définissant 8| soit d'un degré inférieur.
Gomme corollaire, l'équation G = o, irréductible en tu x, y{, ..., ym, est encore irréductible eu t,, i\,, . . ., i\m. Car, s'il en était autrement, le système différentiel initial aurait une solution commune avec un système de degré moindre.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l6l
Enfin, il résulte de ce qui précède que, si l'on considère un système irréductible qui a une solution commune avec un système du même nombre d'équations ou d'un nombre plus grand, toutes ses solutions forment chacune toute une solution ou une partie d'une solution du second système.
131. La théorie générale d'intégration que nous avons exposée dans les Chapitres précédents n'ôte rien à l'importance de procédés particuliers d'intégration qui fournissent d'ailleurs de remarquables théorèmes.
Nous donnerons, pour terminer ce travail, quelques exemples de ces théories particulières.
Nous avons appelé solution du système
dyi
(A) dx= «rt .Tl "H •••-+- 0-in.yn. (t = I,2,...,7l)
un ensemble de fonctions y,, y->, ..., yn satisfaisant à ces équations. Nous appellerons, par opposition, intégrale du système (A) toute relation
(201) f(*,yi, • •■>7«) = consi.,
qui est identiquement satisfaite en vertu des équations (A), c'est-à-dire par une solution arbitraire de ces équations.
Si l'on connaît un système fondamental de solutions yij, la solution générale des équations (A) est de la forme
(202) J7= Cifti-h. . .-h Cnyin,
et l'on peut résoudre ces équations par rapport aux constantes arbitraires. On obtiendra ainsi n intégrales linéaires distinctes
( »«i JKi-H. . . -+- a„„^K,i= C„,
où les a sont des fonctions connues des solutions données y,j.
Réciproquement, si l'on connaît n intégrales distinctes, on obtiendra, en résolvant les équations (2o3), des équations de la forme
et, puisque les constantes sont indéterminées, on peut faire, par exemple, C2= o, . . ,, C„= o, et l'on voit que Ai, sera une solution du système (A). On pourra donc mettre les équations (ao/f) sous la forme (202).
Posé au point de vue de la recherche des intégrales, le problème de l'intégration du système (A) est donc différent de la théorie générale que nous avons ex-
posée. On comprend qu'il y ait une importance considérable à rechercher les formes les plus simples des intégrales.
Supposons, par exemple, avec M. Darboux, que les coefficients a des équations (A) soient des fonctions rationnelles de x. Il pourra exister des intégrales non linéaires, algébriques et rationnelles, tandis que les intégrales linéaires peuvent être irrationnelles ou même transcendantes. Il y a donc intérêt à chercher ces intégrales de degré supérieur. Nous allons montrer comment M. Darboux parvient à résoudre ce problème, et en même temps indiquer les beaux théorèmes qui se rattachent à la question.
Prenons d'abord un exemple. L'équation
d-y , dy
d.r'1 dx J
où a! est la dérivée de a, admet les deux intégrales premières linéaires
'(r+fiZ)
J fat ,- dy\ „
" dx)
et elles peuvent être irrationnelles ou transcendantes, tandis que l'intégrale du second degré
,■-.£ = ce.
est algébrique et rationnelle quand a est rationnel.
Considéro'ns une intégrale rationnelle de degré quelconque
(ao5) f(*,yi- ■ ■■,}',<) =C,
elle doit satisfaire identiquement à l'équation aux dérivées partielles
àf àf àf ,
(206) 0 = -± + -^{anyl+...+ ainyn) + ...+ ^(q,niyl + ...+ a,nnyn).
On voit ainsi que, si la fonction f n'est pas homogène, en la décomposant en parties homogènes en yt, . . ., y„, chaque partie égalée séparément à une constante donnera une intégrale du système (A). En effet, soit
on aura identiquement
Changeons y en ~)y, el nous aurons
ftCkyi, ...,Xr„) = ^'/«(7,, ...,yn), dfiOylt ...,ly„) = ^àfiiy r»^
df,qyu...,-ky„) = ^ , <>/,■( y1; ...,r»)
et, A étant absolument arbitraire, il faut que l'on ait séparément
Nous pourrons donc supposer que, dans l'équation (2o5), f est homogène en
yu •■-, y,i-
Cela posé, soit yij un système fondamental de solutions et soit
(211) //= C,^,, H-----t-C„jr,„
la solution générale.
On peut supposer ces valeurs yi portées dans f(x, j-'i, • . • , y„) et f devra rester constant après la substitution (21 1).
Tout covariant F de /", multiplié par une puissance convenable (négative) du déterminant de la substitution (21 1), se transforme dans le covariant analogue formé avec la fonction 'f(C, , C», ..., C„), où o(Ct, C2, ..., C„) est la fonction indépendante de x qui résulte de la substitution (2 1 1) faite dans f(x, yt, . . -,JK«)-
Mais ce nouveau covariant étant exprimé au mojen des constantes CM . . ., C„ prises comme nouvelles variables, est indépendant de x, c'est-à-dire est une constante par rapport à x. Donc enfin tout covariant de V intégrale f, multiplié par une puissance convenable d'une fonction connue de x, est également une intégrale.
La proposition s'étend au cas où l'on a plusieurs intégrales, et où l'on considère un covariant quelconque du sjstème de ces formes.
En effel, soient
fi(x, y,, ...,yn),
fk(x,yu ...,yn)
k formes intégrales homogènes qui deviennent par la substitution (201) ©/(Ci, . . ., C„), c'est-à-dire des constantes.
Remplaçons les variables y,, . . ., y„ par les variables Cn . . . , C„ au moyen
l64 L. SAUVAGE.
de la substitution (21 1). Nous aurons d'abord
//(*■ C^, + . . .+ Cnyln, . . .) = ?i(Ci, C2 C„).
Ensuite le covariant F de/"(, f2, ...,//, est une expression F(f,, . ■ ■ , fk) qui se reproduit après la substitution (201), mais multipliée par une puissance 0" du déterminant de la substitution.
On aura donc, par suite du changement de variables (211),
Or 0 ne dépend que de ./:. On voit donc, en revenant aux anciennes variables, que
est une constante, c'est-à-dire une intégrale.
Ce beau théorème s'applique, avec des modificalions convenables, aux contre- \arianls de/(x,yt, ...,yn), comme nous allons le montrer.
Introduisons pour cela le système auxiliaire
(i\-i) -j-= — «i/-i — «J/-2 — . . .— aniz„ ({ = 1,2, . . ., n).
Le système (212) est dit réciproque du système (A). Soient y, , y», ...,yn el s,, ..., zn deux solutions quelconques appartenant respectivement au système (A) et à son réciproque (212), on aura
y\ -î-i-i'a-a-i-. ■ • + r«~« = const.
En effet, en dérivant, on trouve
dy\ dyn dz, ds„
1 dix " ' "" dx -s* dx ~!~' " ' dx ~~ '
et, si l'on remplace les dérivées par leurs valeurs tirées de (A) et(2t2), on trouve une identité.
Il résulte de là que, pour intégrer le système (A), on n'augmente pas la difficulté en considérant l'ensemble des systèmes (A) et (212). On aura, en effet, à résoudre en plus un système algébrique de la forme
ynzi + . . .~\-yniZn = C,- (i = 1, a, . . .,n)
pour connaître la solution générale de (212) quand on aura déjà un système fondamental de solutions de (A).
SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. l65
Or, si l'on pose
11 = ZiZiaikZiyk (i,k = 1,2, . ..,«)>
l'ensemble des systèmes (A) et (202) revient à écrire le système canonique, clans le sens classique' du mot,
, „, dvt àli dzt dïi
dx dzt djc dyi
Alors, soient
fityuy-i, ...,^»|*i,*i, ...,x„) = ct (* = i,a,...,*)
k intégrales homogènes en y,, . . . ,yn et en z{, ...,zn.
Toute forme invariante de ce" système d'intégrales, multipliée par une fonction connue de x, est encore une intégrale du système canonique.
En effet, la solution générale de (A) est
(2'4) yi=C,yil-h...^-Cnyin,
et les intégrales de (2o3) sont
(2'5) yuzi+-..-+-yniZ,i=ii (1 = 1,2, ...,n),
car les équations (204) et (200) donnent
y\*i-+-. . .-t-yaza = C1Y1-1-...+ C„y,j= const.
Alors, si dans les intégrales on remplace y, , . . . , y„, zl: . . . , :.n par leurs valeurs tirées de (204) et (210), elles doivent se transformer en des fonctions
<?i[Ci C„ | ft, .. ., y«] (s = 1, 2, . . ., /.-)
indépendantes de x. Mais .(214) et (2 1 5) sont des substitutions linéaires qui changent les variables y et z dans les variables C et y. Donc toute forme invariante du système des intégrales f se réduira, quand on la multipliera par une puissance convenable du déterminant de la substitution (214), à la fonction analytique formée avec les fonctions cp,-, c'est-à-dire à une fonction des constantes C et y. Or, une telle fonction est encore une intégrale.
Le déterminant de la substitution est égal, comme on l'a vu au Chapitre I, à e~s^aadx. Enfin, remarquons que le dernier théorème démontré comprend Ja fameuse proposition de Poisson dans la théorie des équations aux dérivées partielles.
132. Donnons enfin, d'après M. Appell, les principes essentiels de la théorie des
l66 L. SAUVAGE.
fonctions invariantes des intégrales des systèmes quelconques de la forme (A) dyt
dx
= anyr
■ aiaytt.
M. Appell donne, dans un sens très général, le nom de fonction invariante de np quantités X,-* à chaque fonction algébrique entière des variables qui se reproduit multipliée par une puissance de la substitution quand on fait sur les variables une substitution linéaire telle que
Xtt=C|1Y1*+...+ CtaY11*.
Une pareille fonction peut être représentée par le Tableau
ou par la notation I
( Xi»
ou par la notation simplifiée I(X,a),;/,.
M. Appell démontre les théorèmes généraux suivants :
