Représentons par [P], [Q] et [P, Q] les déterminants

An ... A,„ | B|, ... B,„ p\n -+- q 13 1 1 ... p Xln-t- q Bla

B„„ PAnt-hqBnl

p\nn-^qBnn

Le déterminant [P, Q] est une fonction entière et homogène en p, q. Nous n'aurons à nous occuper que du cas où cette fonction est du degré re, et non pas d'un degré inférieur; nous supposerons donc que le degré est n.

Ce déterminant [ P, Q] est alors un produit de n facteurs linéaires et homogènes, de la forme ap -+- bq et distincts ou non.

Considérons au même point de vue les mineurs des divers ordres. Soit lu l'exposant du diviseur ap -+- bq qui entre dans le plus grand commun diviseur de tous les mineurs d'ordre to. Soit /ra+l l'exposant correspondant à l'ordre xs -|- i . L'expression

(ap-i- bqYu-'rn+i

a été appelée par M. Weierstrass un diviseur élémentaire du déterminant

27. Soit ap + bq un quelconque des diviseurs linéaires de[P, Q]. Nous opposerons celte expression à celle de diviseur élémentaire, chacune de ces deux sortes de diviseurs correspondant à une décomposition spéciale du déterminant [P, Q], comme nous allons le montrer.

Les mineurs de l'ordre xz du déterminant [P, Q] sont du degré n — ra en p et q et peuvent être décomposés en facteurs linéaires en p et q. Je dis d'abord que l'exposant lm d'un même diviseur linéaire ap + bq ne peut aller qu'en décroissant quand l'indice ts augmente; sous la notation lm nous comprenons aussi l'exposant /„ du même diviseur linéaire dans le déterminant [P, Q], considéré alors comme un mineur d'ordre zéro.

D'abord tout déterminant de degré n — m -+- 1 peut être considéré comme une somme de termes dont chacun, abstraction faite du signe, est le produit d'un déterminant du degré n — m par un élément de [P, Q]. Donc, tout diviseur commun des mineurs de degré n — m doit être aussi un diviseur commun des

mineurs de degré n — m -+- 1 , et, par suite, aussi, de tous les mineurs de degrés supérieurs à n — m -j- i . En conséquence, si l'un des nombres l0, l\, l±, ■ ■ ■ est nul, tous les suivants sont nuls.

Ensuite, si l'on considère un mineur du degré n — ra+ i , ses dérivées partielles par rapport à p et à q peuvent être considérées comme des sommes de termes dont chacun est le produit d'un déterminant de degré n — et par un terme de [P] ou de [Q]; si donc les mineurs de degré n — m admettent le diviseur linéaire ap -+- bq au degré /CT, le mineur de degré n — m + i et ses dérivées partielles du premier ordre admettront en commun ce diviseur linéaire au même degré l^. H faut alors que le mineur de degré n — uj + i soit divisible par (ap + bq)l™+l .

Soit lr le dernier exposant / qui ne soit pas nul. On aura les inégalités

h> /,> h>. ..>/,-, et l'on pourra poser

/„ — /, = (?„, /, — £2= e,, ..., l,.i — lr= er i, /,.= er.

On aura alors et

A>= eo-t- ei ■

{ap -t- bpy«= (ap -+- bq)c'(ap ■+■ bg)ei-+- . . .-h (ap -+- bq)'r.

Soient ensuite a, p -+- b, q, a2p -+- b2q, . . ., amp -+- bmq les diviseurs linéaires distincts du déterminant [P, Q]. Soient /,,, l'I, .. ., I™ leurs exposants. Décomposons ces nombres en éléments e d'après les règles précédentes, de sorte que l'on

ait, par exemple,

Le déterminant [P, Q] pourra être représenté par le produit

Cliacun des facteurs de ce produit est, comme nous l'avons dit dès l'abord, un diviseur élémentaire du déterminant [P, Q],

On voit que chaque diviseur élémentaire est essentiellement caractérisé par le rapport de deux coefficients a et b et par un exposant e.

Nous montrerons dans la suite que chaque diviseur élémentaire est indépendant dans chacune de ses propriétés. Nous pourrons alors représenter tous les diviseurs élémentaires dans un ordre quelconque par la notation

(atp -hbiq)c>, (a2p + b,qYi (a?p -h bpq )'t.

Mais les indices i, 2, ..., p n'indiqueront plus que les diviseurs linéaires

a,p-i-bfq, ..., app + bpq soient nécessairement distincts. Plusieurs pourront être égaux entre eux. On aura de plus

et le nombre p sera égal ou supérieur au nombre des diviseurs linéaires distincts.

28. Un diviseur élémentaire (ap + bq)e du déterminant [P, Q] est dit simple ou multiple, suivant que son exposant e est égal ou supérieur à l'unité.

Si, par exemple, tous les diviseurs élémentaires fournis par un même diviseur linéaire sont simples, on voit que le déterminant [P, Q] sera divisible par (ap + bq)r+' ; ses mineurs du premier ordre seront divisibles par (ap-\-bq)r, ..., ses mineurs de l'ordre r seront divisibles par ap -+- bq.

Si au contraire les diviseurs élémentaires fournis par un même diviseur linéaire ne sont pas tous simples, remarquons que nous aurons

lm-\— 607-1= Ijs= ea-h. . .-h er,

lr-i — e,—i= lr = e,.,

et nous voyons que le déterminant [P, Q] et ses mineurs d'ordres successifs seront respectivement divisibles par

(ap -h bq)eo+e,+-+er.

(ap ■+- bq)e<+---+er,

(ap + bqYr,

Les ordres de multiplicité d'un diviseur ap-\-bq, considéré comme diviseur linéaire, ou comme diviseur élémentaire, sont, comme on le voit, deux nombres essentiellement distincts.

Ajoutons une remarque :

Il n'y a jusqu'ici entre les nombres e0, e,,...,er aucune relation nécessaire. Ce sont simplement des nombres entiers qui concourent à former les nombres /,-, /,.,, . .., ^0, ces derniers nombres allant toujours en croissant, quand leur indice diminue.

29. Il y a un lien très étroit entre la théorie des formes bilinéaires et la théorie des diviseurs élémentaires, et c'est précisément l'application des théorèmes de l'une de ces théories aux théorèmes de l'autre qui nous conduira à des consé-

quences très importantes pour la théorie des équations linéaires. Nous allons, par suite, nous occuper de ces questions spéciales. On dit que les deux expressions

(«, P = i, 2, ..., n), Q = SBap;rajrp )

sont deux formes bilinêaires aux invariables x,, ..., xn, y{, ..., yn. Les déterminants de ces formes sont, par définition, les déterminants [P] et [Q]- Faisons les substitutions

aux déterminants de constantes H et K supposés tous deux différents de zéro. Les formes

?(xu ...,x,t\yu ...,yIL) et Q(xu . . ., xn\ yit . . . , yn)

ou, avec une notation plus simple, les formes

P(x\y) et Q(x\y)

deviendront

T>'(x'\y') et Q'(x'\y').

Nous allons montrer que les déterminants des deux formes

pP-hqQ et pP'-hgQ'

admettent les mêmes diviseurs élémentaires.

30. Supposons que l'on ne fasse d'abord que la première substitution. Les formes

P(x\y) et Q(x\y) deviendront

Pi(.x'\y) et Qiix'ly).

Si ensuite on fait la seconde substitution, on obtiendra les formes

P'(tf'iy) et Q'(x'\y').

Il suffit de démontrer que le déterminant de la forme

pPi + qQi

a les mêmes diviseurs élémentaires que le déterminant de la forme

car on passera, par le même procédé de démonstration, des diviseurs élémentaires de la forme

pPi+?Qi à ceux de la forme

pP'-4-?Q'.

On sait, d'après la théorie des déterminants, que Ton a

[P„Qi] = [P,Q]xH.

Donc déjà les diviseurs linéaires distincts des deux déterminants

[P„Q,] et [P,Q]

sont les mêmes. Il reste à faire voir qu'ils fournissent les mêmes diviseurs élémentaires. Nous montrerons pour cela que, si un diviseur linéaire est facteur à un certain degré de multiplicité dans tous les mineurs d'un ordre donné de [P, Q], il est aussi facteur au même degré de multiplicité dans les mineurs du même ordre de [Pf, Q,] et réciproquement.

Représentons les mineurs de degré ja des trois déterminants

[P,Q], H, [P..Q,] par

y et S désignant deux combinaisons quelconques des nombres i, 2, ..., n pris tx à u. On a, d'après Cauchy ('), la relation

mi 3 = T,yi 7?lgt -t- T)y2 mjî -+- ... -I- rr;c mic.

Le nombre c est celui des combinaisons indiquées et est égal à

n(n — 1 ) . . .(n — n + i) 1 . 2 . . . pi

Si tous les mineurs mgy admettent le même diviseur (ap ■+- bq)1, i)i'rs admettra ce même diviseur pour toutes les valeurs qu'on peut donner à y et 3.

Réciproquement, si touslesmineurs mL$ admettent le même diviseur («/? + bq)!,

(') Voir la Note sur les déterminants.

il en sera de même des expressions

Mais le déterminant Sr,,, 7)22 ••• 'f\cc est une puissance de H et n'est pas nul ('). Donc m$t, . . ., m^c admettent séparémentle diviseur (ap + bq)1 , et pour toutes les valeurs que l'on peut donner à S.

Enfin, si les mineurs d'un certain ordre de[P, Q] n'ont aucun diviseur commun, il en sera de même des mineurs du même ordre de [P, , Q, ], sans quoi l'on pourrait démontrer que les mineurs considérés dans [P, Q] ont contrairement à l'hypothèse un diviseur commun.

Il est donc prouvé que les diviseurs élémentaires du déterminant [P, Q] ne sont pas altérés par la douhle substitution

xu ..., x„ | x\, ..., x'n, et yu ..., yn | y\, ..., y'n.