Ce théorème admet la réciproque suivante

Soient deux couples de formes bilinéaires

P(x\y) et Q(x\y) et

Si les deux déterminants [P, Q] et [P', Q'] ont les mêmes diviseurs élémentaires, on peut déterminer zn2 constantes h et k telles que les substitutions

Xi=y2ihijx'j \

changent P en P' et Q en Q'.

Nous démontrerons cette importante réciproque par une belle méthode due à M. Darboux.

32. Soit une forme bilinéaire aux in variables indépendantes x<, ...,xn,

P = ?,Aapxay$.

Appelons X,, X2, . . . , X„ les dérivées partielles de P par rapport à x,, x2-, •■■, (') Voir la Note sur les déterminants.

xn et Y4, Y2, . . . , Y„ les dérivées partielles de P par rapport à yt, y2, . . . , yn. Nous aurons

Le déterminant formé par les n- coefficients A et qui a l'une des deux formes

Au ••• Ai

An ... A,(1 Ai» ... A„„

est appelé le déterminant de la forme P. On remarquera la relation

#iXi

. h- xHXn = yx Y, + . . .-+- /.Y» = P.

33. Appelons B„ le déterminant de la forme P et formons toutes les expressions que peut donner le déterminant B0 bordé comme nous allons l'indiquer. Posons

Chaque bordure, la kièmc par exemple, distinguée par l'indice supérieur k, est obtenue au moyen de in arbitraires formant deux groupes distincts, soient m*, . . ., ukn pour la bordure en colonne et p*, . . ., vkn pour la bordure en ligne.

Développons Bo (') par la règle de Lctplctce (2) en combinant les éléments des 9 dernières colonnes de toutes les manières possibles, de façon à former des mineurs de degré 0, et en multipliant chacun de ces mineurs par le mineur de degré n qui reste quand on a supprimé les 9 dernières colonnes et les 9 lignes choisies.

Les produits du degré n + 9 que l'on obtient ainsi renferment des paramètres ç provenant de toutes les bordures et sont du degré n — 9 par rapport aux éléments du déterminant B0. La même règle de Laplace est applicable à chaque mineur de degré n.

(') Les déterminants B0 pourraient être appelés des Hessiem bordés. (') Voir la Note sur les déterminants.

Donc Bq est une fonction linéaire et homogène des mineurs d'ordre 9 de B0 quelles que soient les valeurs attribuées aux arbitraires u et v.

34. Si l'on connaît le déterminant [P, Q], qu'on peut représenter parB0(p, q), on voit que la fonction Bd(p,q) sera entière et homogène en p et q, et, si les mineurs de degré n — 9 de B0(p, q) sont divisibles par (ap -+- bq)1, on voit que Bf)(p1q) sera divisible pav (ap -{- bq)1 . On peut d'ailleurs choisir les arbitraires qui entrent dans Bo de manière qu'il se réduise à l'un quelconque des mineurs de B0. Par exemple, on a

A*+i,i . • • Aa+1,^+1 . .

Au, o

An ... A,/, A/, i . . . Aw.

Donc, pour qu'un diviseur (ap + bq)1 soit commun à tous les mineurs d'ordre 0 de [P, Q], il faut et il suffit qu 'il divise la fonction Bo(/?, q) correspondante, quelles que soient les valeurs attribuées aux arbitraires.

On pourrait en conséquence définir les diviseurs élémentaires de [P, Q] au moyen des déterminants Bo(/>, q).