VI. — Réduction du groupe d'une équation algébrique
30. Les propriétés du groupe d'une équation sont extrêmement importantes pour l'étude de cette équation. Nous partons toujours d'un domaine donné de rationalité; nous considérons une équation dont les coefficients appartiennent à ce domaine et nous commençons par quelques théorèmes et remarques préliminaires. Démontrons d'abord que toute équation irréductible a son groupe transitif et réciproquement.
Je suppose, en effet, que le groupe G de l'équation
de degré n ne soit pas transitif; il existera alors au moins un groupe de racines x^, Xo, . . . , .Ta en nombre inférieur à /?, tel que toutes les substitutions de G les laissent invariables ou les permutent entre elles, mais non avec les autres. Les substitutions de G n'altèrent donc pas les fonctions symétriques de x, , . . . , .Ta; donc ces fonctions sont rationnelles et f{x) admet le diviseur de degré a <; n
{X — Xl) ... {X — Xy,),
dont les coefficients appartiennent au domaine de rationalité, et l'équation est réductible.
Réciproquement supposons G transitif: je dis que l'équation est irréductible. En effet, si elle ne l'était pas, nous aurions pour f{x) un diviseur rationnel
Or soit .Ta+i une racine àef{x) autre que .r, , . . . , ^a, G contient une substitution S qui remplace :r, par ^3^^,. Cette substitution transformera donc cp(^) en un autre produit di fièrent de celui-là, puisqu'il contient le facteur ^ — ^j^^,. Donnons à x une valeur arbitraire du domaine de rationalité : dans ces conditions, o{x) devrait être rationnellement exprimable, mais cela sera impossible parce qu'alors il devrait rester invariable parles substitutions
de G, ce qui n'a pas lieu, puisque, après la substitution S, cp(^) se transforme en un autre produit, et les deux produits ne peuvent être égaux pour toute valeur de x du domaine de rationalité, car cela entraînerait leur égalité manifestement impossible pour toute valeur de x.
31. Nous avons rencontré plus haut des équations irréductibles dont les racines sont fonctions rationnelles d'une d'entre elles. Considérons d'une manière générale une équation de cette nature et montrons que V ordre de son groupe est égal à son degré.
Soient, en effet, x^ , Xo^ . . . ^ Xn les racines de l'équation irréductible
et la fonction V considérée dans la théorie de Galois
V = aiXi -h «2^2 +. . .-H a,iOCn.
Puisque X2, . . . , ^/^ sont des fonctions rationnelles de ^1, on pourra exprimer V en fonction rationnelle de x^ ; soit
L'ordre du groupe de l'équation /" est le degré de Téquation irréductible dont V est racine; il ne peut donc être supérieur à /z, car R(^^ ) ne peut avoir plus de n valeurs. Mais, puisque ce groupe est transitif, il faut qu'il contienne au moins n substitutions pour que X\ puisse être remplacé par lui-même et chacune des autres lettres x^-^ , . . ^ Xn- L^ ordre du groupe est donc égal à n.
La réciproque de ce théorème est exacte, c'est-à-dire que si le groupe d^ une équation est transitif et si son ordre est égal à son degré, toutes les racines de V équation sont fonctions rationnelles d'une quelconque d'entre elles. En effet, d'abord l'équation est irréductible, puisque son groupe est transitif. Ensuite, considérons une des racines ^, et adjoignons-la au domaine primitif de rationalité. Le groupe de l'équation se réduira, après cette adjonction, aux substitutions laissant ^i invariable; mais, puisque le nombre des substitutions est égal à /z, il n'y a d'autre substitution que la substitution unité laissant x^ invariable, car s'ily en avait 0, l'ordre du groupe serait égal au moins à on. Donc
le groupe se réduit à la substitution unité. L'équation irréductible '!^(V) = o de Galois est donc du premier degré et, par suite, l'équation est résolue. Donc ^o, . . ., Xn sont fonctions rationnelles de 07].
Le cas où le nombre n est premier est particulièrement simple. Prenons une des substitutions du groupe qui ne soit pas la substitution unité; ses diverses puissances forment un sousgroupe du groupe considéré, dont l'ordre doit être un diviseur de n. Ce sous-groupe est par suite d'ordre n\ il forme donc le groupe total qui est alors formé des puissances d'une même substitution. Celle-ci doit se réduire à une substitution circulaire, car, si elle se composait de plusieurs cycles, l'ensemble de ces puissances formerait un groupe dont l'ordre serait le plus petit multiple commun des nombres de lettres des différents cycles et, par suite, n ne serait pas premier. Il est aisé de montrer que l'équation peut être résolue par radicaux. Soit, en effet, a une racine 72'*^™^ de l'unité; on voit immédiatement qu'en adjoignant a au domaine de rationalité l'expression
est rationnellement exprimable, car elle reste invariable quand on effectue surxi, X2, , . , , Xn une permutation circulaire. 11 en résulte que les n expressions
cci -h ajTo -h. . .-f- oi'^-'^Xii ,
OÙ l'on donne à a les n valeurs racines de l'équation ^« = i , peuvent s'exprimer par des racines n^'''^''^ de quantités connues, et l'équation est par suite soluble par radicaux. En dehors des racines Ai'*"""*^^ de l'unité, il suffît d'introduire dans cette résolution un seul radical; je dis, en effet, que si jî et a désignent deux racines /i'^^^s (jg l'unité distinctes de l'unité, on pourra exprimer
Vp = a-i H- 3j"2 + . . . -H .3"-' ^ii rationnellement au mojen de
On sait, en effet, que [3 peut se mettre sous la forme a?, q étant
un entier; considérons alors le produit
(xi + y.ix.2 -h. . .-4- a'7(«-i^:P/i) X {xi 4- ocx^ H-, . .H- a«-i^,j)-'7.
11 ne change pas quand on fait la permutation circulaire (Xi, x^i ...,^«), comme on le reconnaît de suite. Ce produit s'exprime donc rationnellement et, par suite, Vp s'exprime rationnellement à l'aide de V^; nous n'avons donc qu'un seul radical ;ii*^'"«^ dans l'expression des racines, indépendamment des racines /i'^'"''^^ de l'unité.
32. Nous avons montré, au § 18, que l'on pouvait prendre une fonction rationnelle des racines d'une équation sous une forme ou sous une autre, du moment que les substitutions à effectuer appartiennent au groupe de l'équation ; c'est une remarque qui nous permet, sous la condition indiquée, de raisonner sur les fonctions rationnelles des racines comme si ces racines étaient des variables indépendantes^ soit une fonction rationnelle
des racines de l'équation y*(^) = o, et supposons que, pour l'ensemble des substitutions du groupe G de cette équation, la fonction cp prenne p valeurs numériques (^) distinctes que nous désignerons par
Si p est moindre que l'ordre v du groupe G, il y aura un certain nombre r de substitutions transformant ^^ en lui-même. En raisonnant alors comme nous l'avons fait au §20, on mettra l'ensemble des substitutions de G sous la forme
Ti S,, .,
Sn
Tp-1 Si,
Tp-iS2,
.., Tp
iS..
(') Il ne s'agira plus, par la suite, que des valeurs numériques des fonctions des racines, et quand nous parlerons d'une fonction transformée en une autre par une substitution, il sera toujours question de la valeur numérique de la fonction.
Les substitutions de la première ligne forment un groupe qui transforme cp^ en elle-même. Le groupe de substitutions
transformera cpo en elle-même; tous les raisonnements sont les mêmes qu'aux §§ 20, 21, 22, 23, et les mêmes considérations trouvent leur place, quoiqu'il s^agisse ici de valeurs numériques des fonctions, tandis qu^on considérait plus haut des fonctions variables indépendantes.
Nous avons déjà dit que cp,, cpo, . . . , cpp satisfont à une équation d'ordre p à coefficients rationnellement exprimables. Cette équation est irréductible, car autrement on aurait un facteur
qui serait rationnel, en prenant pour j)^ une quantité quelconque du domaine de rationalité. Ce facteur devrait rester invariable pour toute substitution du groupe, ce qui est impossible puisque, par une substitution du groupe, on peut changer cp, par exemple en o^', k' étant supérieur à A. Nous désignerons par
l'équation ajant pour racines cp,, -^o, .... -^p. On peut dire que son degré est égal au quotient de l'ordre du groupe G par l'ordre du groupe laissant cp, im'ariable.
33. Ces remarques faites, arrivons au problème de la réduction du groupe d' une équation.
Quand on a formé la résolvante de Galois
et, pour un domaine donné de rationalité, pris un facteur irréductible
la série des opérations effectuables est terminée. Les opérations ne pourront être poussées plus loin que si V adjonction de certaines grandeurs non rationnellement exprimables dans le domaine primitif rend réductible le polynôme ^(V).
470 CHAPITRE XYI.
Supposons d'abord que l'on adjoigne une fonction rationnelle
des racines. On remarque tout d'abord que les substitutions de G, n'altérant pas la valeur numérique de cp,, forment évidemment un groupe r, et l'on va montrer que V adjonction de la valeur de cp, réduira le groupe de V équation précédente à F.
En effet, après l'adjonction de cp,^ le groupe de l'équation ne peut contenir que des substitutions du groupe initial n'altérant pas cpi -, donc ce groupe ne peut être que F ou un groupe contenu dans F. Mais il est facile de voir que toutes les substitutions de F feront partie du groupe cherché -, car toute fonction des racines exprimable rationnellement après l'adjonction de o^ sera de la forme
P étant rationnelle.
Elle restera donc invariable pour toutes les substitutions qui laissent cp^ invariable. Inversement, toutes les fonctions des x invariables par les substitutions de F s'expriment rationnellement à l'aide de C5, , d'après le théorème de Lagrange étendu aux valeurs numériques (§ 18). Le théorème est donc établi.
Plus généralement, si Von adjoint plusieurs fonctions des racines, le groupe de V équation sera réduit au groupe des substitutions contenues dans G et n altérant pas les différentes fonctions.
34. Supposons maintenant que l'on adjoigne au domaine primitif de rationalité les racines de l'équation considérée ci-dessus
ou, ce qui revient au même, les valeurs des p fonctions rationnelles cp, , cp2, . - . , cpp. Le groupe de l'équation se réduira au groupe des substitutions contenues dans G et n'altérant pas ces différentes fonctions.
Ceci posé, les sous-groupes correspondant aux différentes fonctions CD, considérés au § 32, peuvent n'avoir d'autre substitution commune que la substitution unité. Le groupe H, considéré à la fin du § 22 et qui représente le plus grand sous-groupe laissant
invariables '^,, cpo, • • ., 'fp, se réduit alors à la substitution unité, et par suite l'adjonction des racines de l'équation S réduit alors à l'unité le groupe de l'équation. Celle-ci se trouve par conséquent résolue, et Ton est assuré de pouvoir exprimer les racines de l'équation f{x)^=o rationnellement au moyen des racines de l'équation S. On n'aura d'ailleurs aucune difficulté pour reconnaître si l'on se trouve dans le cas qui nous occupe, car on pourra, comme on sait, chercher d'une manière régulière le groupe de l'équation en adjoignant cp,, cpg, . . . , cpp , et l'on pourra constater si ce groupe se réduit à la substitution unité, c'est-à-dire si la résolvante de Galois admet un facteur rationnel en V du premier degré. Le cas que nous venons d'étudier n'amène en définitive aucune simplification dans la résolution de l'équation; la résolution des équationsy(j;) et S('^) sont alors deux, problèmes absolument identiques. On remarquera que ce cas se présentera toujours quand le groupe G est simple.
Il en est tout autrement si le groupe H ne se réduit pas à la substitution unité. Après l'adjonction de cp,, cp^, . . . , cpp le groupe de Téquation ne se trouve pas réduit à la substitution unité, puisqu'il se réduit à H. Soient m l'ordre de G et m^ l'ordre de H. Cherchons l'ordre du groupe de l'équation
On trouvera le groupe de S en posant
VV = Ui '-fi -h Z/2?2 -i-. . .-î- «0?05
les u étant des constantes arbitraires appartenant au domaine de rationalité; le degré d'un facteur irréductible de l'équation donnant W sera l'ordre du groupe de S. Mais, d'autre part, W peut être regardé comme une fonction rationnelle des racines de l'équation y(^) == o, laquelle fonction, non altérée par les substitutions de H, l'est évidemment par toute autre substitution de G. Elle dépend donc, d'après le § 32, d'une équation dont le degré est égal au rapport des ordres de G et de H. Nous pouvons donc dire
que U équation S a un groupe (Tordre — ; nous savons d'ailleurs
(§ 22) que H est un sous-groupe invariant de G.
Ainsi, par l'adjonction des racines de l'équation auxiliaire S, P. - m. 32
dont le groupe est d'ordre — , nous abaissons l'ordre du groupe de l'équation donnée / à //?< ; le problème de la résolution de V équation f est donc ramené à deux problèmes d'un caractère plus simple, puisque les ordres des groupes des équations qu'on a maintenant à considérer sont moindres que m.
3o. Nous avons déjà considéré, au § 23, le groupe de l'équation S; les notations étaient seulement un peu différentes. Ce groupe, relatif aux cp, y était désigné par la lettre g] nous avons vu en particulier que, si H est un sous-groupe invariant maximum, le groupe g est simple. Par suite, le groupe relatif à l'équation S sera, dans ce cas, un groupe simple.
Ceci nous suggère une marche à suivre, pour réduire à des problèmes plus simples la question de la résolution d'une équation f{oc) = o. Désignons toujours par G le groupe de cette équation pour un domaine donné de rationalité^ nous avons dit, au paragraphe précédent, que la considération d'une équation résolvante comme S ne simplifie rien quand G est un groupe simple, car les résolutions des équations/ et S constituent deux problèmes identiques. Mais supposons que le groupe G soit composé, et désignons par Gi un sous-groupe invariant maximum de G; on peut former une fonction rationnelle cp des racines de /" restant invariable par les substitutions de G| et par ces substitutions seulement. Cette fonction dépendra d'une équation dont le degré sera le quotient — , en désignant par m l'ordre de G et par
m, l'ordre de G, ; soit
cette équation. Son ordre sera égal à son degré, d'après la règle du
paragraphe précédent, et son groupe sera simple. L'adjonction des
racines de cette équation réduit à G, le groupe de l'équation f.
Nous pouvons continuer de la même manière en partant de
G^, si ce groupe n'est pas simple. Reprenons donc la suite des
groupes
G, Gi, G2, . . ., G/,, I ,
considérée avi § 25, et soient
/?i, mi, m2, ..., tun, I
les ordres respectifs de ces groupes ; nous sommes alors conduit au théorème suivant :
La résolution de U équation proposée dépe ndra de la résolution d^ équations successives
Chacune de ces équations est irréductible dans le domaine primitif auquel on adjoint les racines des équations précédentes et son groupe est simple; V ordre de ce groupe est égal à son degré, et ces degrés sont respectivement
m nii
Le groupe de V équation primitive f, après adjonction des racines des équations S, se réduit successivement à
Gi, Gj, . . . , G/,, I.
On voit l'importance que prend alors le théorème de M. Jordan, démontré dans la Section V. Les degrés des équations que nous venons de signaler sont indépendants de la façon dont on formera la suite de composition. Le théorème de M. Holder (§ 28) nous montre de plus que, non seulement les ordres des groupes auxiliaires, mais ces groupes eux-mêmes restent les mêmes, à l'ordre près.
36. Nous avons supposé jusqu'à présent qu'on adjoignait une fonction rationnelle des racines de l'équation. Galois suppose d'abord dans son Mémoire que l'on adjoigne une racine r d'une équation auxiliaire irréductible F(/-) = o. Il est aisé de montrer que le point de vue auquel nous nous sommes placé est au fond identique à celui de Galois.
Cherchons d'abord la nature des modifications que pourra amener l'adjonction de /*. Le facteur irréductible '}(V) peut alors devenir réductible ; s'il en est ainsi, on aura un facteur
Il n'y a pas, dans celte réduction, à distinguer une racine d'une
autre pour réquation donnant r, et l'on aura ainsi dans ^(V) un nombre de facteurs égal à />, si p désigne le degré de l'équation en r.
D'après cela, si l'on représente par /•,, 7-2, . . ., /> les racines de l'équation F(/') = o, le polynôme '}(V) sera divisible par chacune des fonctions
(O l(y,rô, x(V,/'2), •••, X(V,/>).
Le produit de ces fonctions est une fonction entière de V dont les coefficients appartiennent au domaine primitif de rationalité; désignons-le par n(V). Les racines de Téquation
appartiennent toutes à t];, et elles lui appartiennent nécessairement avec le même degré de multiplicité puisque '^(V) est irréductible. On aura donc nécessairement
