II(V) = [-|(V

en supposant, comme il est évidemment permis, que, dans y et à, le premier coefficient est égal à l'unité.

Les racines de l'équation ^ sont toutes exprimables en fonctions rationnelles d'une d'entre elles. Soit Va une racine de

l'équation

et B(Va) une seconde racine de la même équation, ô étant rationnelle. Je dis que, si Vp est une racine de

il en sera de même de 0(Vp). En effet, l'équation

est satisfaite pour la racine Va de l'équation x(^5 ''«) = o; elle admettra donc toutes les racines de cette dernière. Ainsi donc

mise sous forme entière, est divisible par y ( V, /', ) ; la division se faisant exactement, le dernier reste, qui est un polynôme en V

SUBSTITUTIONS ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l\'^

dont les coefficients sont fonctions rationnelles de /•,, sera nul identiquement. Ces coefficients, étant nuls pour r,, devront s'annuler aussi pour /\, et les autres racines de F(/-), qui est irréductible; ce qui établit la remarque énoncée.

Il en résulte que, si deux polynômes de la suite (t) ont une racine commune, ils ont toutes leurs racines communes; par

suite, d'après l'identité

ri(V) = [^(V)]7,

il j aura seulement- facteurs distincts dans la suite (t). A l'ad-

jonclion de chacune des racines de l'équation F correspondra pour Téquation un groupe provenant du facteur de la suite (a-) se rapportant à cette racine. Le nombre de ces groupes ne sera pas égal à/?, mais seulement à -, et leur ordre sera égal au quotient par — de l'ordre du groupe initial. Puisque toutes les racines de l'équation 6 sont fonctions rationnelles d'une d'entre elles, ces groupes sont manifestement les transformés de l'un d'eux par une substitution rationnelle. Si le degré p est un nombre premier et que Tordre du groupe soit abaissé, on remarquera que q est nécessairement égal à un ; les polynômes de la suite (o-) seront alors distincts, et l'ordre du groupe de l'équation sera divisé par/?, quand on adjoint une racine.

Dans le cas où l'on adjoindra toutes les racines de l'équation en /', le groupe de l'équation proposée se réduit aux substitutions

communes aux — groupes dont nous venons de parler.

Supposons que l'adjonction d'une racine r, d'une équation irréductible F (r) = o réduise le groupe d'une équation f[x) = o de G à Gi; je dis qu'on peut opérer une réduction identique en se donnant la valeur d'une fonction rationnelle convenable des racines. On peut, en effet, former une fonction rationnelle des racines dont la valeur numérique reste invariable pour les substitutions de G', et pour celles-là seulement. Cette fonction rationnelle cp,(jr,,X2, . . 'i^n) sera racine d'une équation irréductible d'un certain degré p, soit

S(cp) = o,

qui aura pour racines cp,, cpo, . . ., Çp. L'adjonction de la racine '.pi

47^ ClIAPITHE XVI.

de l'équalion S produit sur le groupe G le même effet que celle de la racine r, ; elle ramène le groupe de G à G', .

On peut aller plus loin et montrer que V adjonction des différentes racines de ¥{r) = o peut être remplacée par l'adjonction des différentes racines deS{o)=zo. Tout d'abord o, restant invariable par les substitutions de G'^ s'exprimera rationnellement à l'aide de ;-< ; écrivons donc

cpi = 0(n).

L'équation

admettant la racine /'i , admettra les racines

de l'équation irréductible F. Les quantités

sont donc conlenues dans la suite

Or l'équation ayant pour racines cp = 8(/v) est à coefficients rationnellement exprimables dans le domaine initial de rationalilé; désignons-la par

P(cp) = o.

Toutes ses racines appartiennent à l'équation irréductible

Il faut donc qu'elle les ait toutes et avec le même degré de multiplicité, et, par suite,

P(^) = [S(cp)][^.

Le nombre p sera donc un multiple de p ; [jl des valeurs 8(/v) sont égales à cp,, p. autres à cpo, et ainsi de suite.

Ceci posé, soit6(/a)= cpa, et désignons par G;^ et Gji les groupes auxquels se réduit le groupe de l'équation, lorsqu'on adjoint respectivement 7^a et cp^. Si G'^ désigne, comme plus haut, le groupe correspondant à l'adjonction de r^, nous avons dit que G'^ et G^, sont de même ordre. Il en est de même de G^ et de G', . Comme o^

est rationnellement exprimable après l'adjonction de /'a, le groupe G^ contient toutes les substitutions de G'^ et, par suite, ces groupes sont identiques.

Le théorème est donc démontré. Le nombre ;jl est égal à l'entier q rencontré dans la première partie de ce paragraphe.

37. D'après ce qui précède, l'adjonction des racines de l'équation F(r) = o ramène le groupe de l'équation au groupe commun aux groupes

G'i, G2, ,.., Gp,

qui correspondent respectivement aux fonctions cp,, cpo, . . ., '•:i^. Le degré/? de l'équation F, qui est égale à ap, est un multiple de p, et les racines de cette équation se partagent en p groupes de ;ji. racines, comme il a été indiqué plus haut.

Arrêtons-nous sur un cas particulier très important pour la suite. Je suppose l'équation F telle qu'une quelconque de ses racines s'exprime rationnellement à l'aide d'une d'entre elles. Quand on adjoindra cette racine, il se trouvera alors qu'on adjoindra toutes les autres; il en résulte que les groupes G',, G.,, . . . , Gp correspondant à l'adjonction des diverses racines coïncident. Le groupe G de l'équation, après adjonction des racines de F, se trouve donc ramené au groupe G', ; le groupe G d'ordre m a donc été abaissé

à un groupe d'ordre — . Il est clair que G', est un sous-groupe invariant de G.

Particularisons davantage encore en supposant de plus que p soit un nombre premier et que l'ordre du groupe soit abaissé. Puisque /j> = ap , il faudra nécessairement que jjl = i et, par suite,

V ordre du groupe de l'équation sera abaissé de ni à