IV

formeront deux suites de composition du groupe G. Pour ces deux suites les facteurs de composition sont les mêmes; la chose est évidente à partir de F, puisque les termes sont identiques; et, pour les deux premiers intervalles, cela résulte de la relation établie ci-dessus

jn m\ m /?? ,

donc l'ordre seulement des deux premiers facteurs est interverti. Puisque les séries (HI) et (IV) ont les mêmes facteurs de composition, le théorème que nous avons en vue sera établi, si nous prouvons que (I) et (III), d'une part, (II) et (IV), d'autre part, ont les mêmes facteurs. Mais, pour ces deux derniers couples, la démonstration est d'un degré moindre de difficulté, car tandis que les suites (I) et (II) n'avaient qu'un groupe commun (le premier), les suites (I) et (III) ont deux groupes communs G et G^ ; en raisonnant de la même manière, on ramènera la démonstration à celle du théorème pour le cas de deux suites ayant les trois premiers groupes communs, et ainsi de suite, de proche en proche ; ce qui établit le théorème.

28. Dans un intéressant Mémoire (*), M. Holder a étendu le (') O. HôLDER, Zuruckfûhrung einer beliebigen algebraischen Gleichung

/|6o CHAPITRE XVI.

théorème de M. Jordan, en établissant que, non seulement les facteurs numériques de composition forment une suite invariable, mais que les groupes considérés plus haut (§ 23), désignés par

G 1 Gi, Gi I G2, . . .,

et que l'on peut appeler les groupes facteurs de G, forment une suite qui est seulement permutée lorsqu^on passe d^ une suite de composition de G à une autre. Nous renverrons pour la démonstration au travail de M. Holder.

29. Comme exemple, considérons le groupe symétrique et cherchons à le décomposer en formant la suite définie ci-dessus. Nous ferons d'abord une remarque générale sur la transformée d'une substitution par une autre substitution; soit S une substitution et

TST-i

sa transformée par T. Montrons que ces deux substitutions sont composées d'un même nombre de cycles portant respectivement sur un même nombre de lettres, ce qu'on exprime souvent en disant qu'elles sont semblables. En effet, soit

S = {XiX,X^.. .){X/c ...)... ,

en mettant les cycles en évidence, et soit la substitution

XiX^X^ . . . X/c. . . Xfi

En effectuant successivement les trois substitutions T~*, S, T, l'élément ^^ est remplacé par œ\j puis par X2, et enfin par ^p ; donc la substitution TST~* transforme ^a en ^p, puis xp en ^y, et ainsi de suite, de telle sorte que

TST-i = (jc^-rp^y .. .)(a7x ...)... ;

ce qui établit bien l'assertion posée plus haut. Il en résulte immédiatement que les deux substitutions S et TST~' peuvent être

au/ eine Kette von Gleichungen {Math. Annalen, t. XXXIV, 1889). Ce Mémoire contient une remarquable et très rigoureuse exposition des principaux problèmes concernant le groupe d'une équation.

obleniies en faisant un même nombre de transpositions, puisque des substitutions circulaires d'un même nombre de lettres correspondent à un même nombre de transpositions.

Ceci posé, nous pouvons montrer que le groupe alterné est un sous-groupe invariant du groupe symétrique, car la transformée d'une substitution du groupe alterné par une substitution quelconque renferme, d'après ce qui précède, un nombre pair de transpositions et appartient, par conséquent, au groupe alterné. On remarquera, en outre, que le groupe alterné est un sousgroupe invariant maximum du groupe symétrique, puisque l'ordre d'un sous-groupe du groupe svmétrique étant un diviseur de 1.2.../?, ne peut être supérieur a

Nous allons maintenant établir que, si n est supérieur à quatre, // 11' y a pas d^ autre groupe invariant dans le groupe symétrique que le groupe alterné. Nous emprunterons la démonstration de ce théorème au Traité de M. Jordan (p. 63).

Soit r un sous-groupe invariant du groupe symétrique. Supposons en premier lieu que, parmi les cycles d'une de ses substitutions S, il en existe un contenant plus de deux lettres; comme, par une substitution convenable du groupe symétrique, cette substitution S se transforme en une substitution quelconque pourvu que cette dernière ait ses cycles en même nombre et avec le même nombre de lettres que S, nous aurons certainement dans F les deux substitutions

Si = {Xr(xa,Xy . . . a7g) (jTça^ç . . . ) . . . ,

S2 = (x^X:^Xv . . . x^){x.X:^ ...)...,

les cycles non écrits étant les mêmes dans les deux substitutions. Prenant maintenant la substitution

elle fera aussi partie de F; mais elle se réduit visiblement au cycle portant sur trois lettres arbitraires

toutes les lettres autres que œ^, ^p, ^s n'étant pas modifiées. Supposons en second lieu que tous les cycles de S contiennent

au plus deux lettres, nous aurons dans F les deux substitutions

Si = {xy xo,){x.^xz) . .., s, = {ocy,x^){x<^xi).. . ,

les cycles non écrits étant toujours les mêmes, et, par suite, leur produit 8281 est égal à

'L = {xaXi)(xo,x^),

toutes les lettres autres que x^^ x^, x^, Xy n'étant pas modifiées. Soit maintenant /i > 4 5 le groupe F contiendra de même

S, ={XaX-){x^x^),

Z, étant une lettre arbitraire différente de a, p, y, 0. On a enfin

^lE = (xo^xzxi),

et nous avons encore dans F une substitution circulaire d'ordre trois portant sur trois lettres arbitraires.

Or, il est aisé de voir qu'un groupe, contenant tous les cycles de trois lettres arbitraires, se réduit au groupe symétrique ou au groupe alterné. En effet, le produit T'T des deux substitutions

1 = i^XiX^X^) ,

T'= (X1X2X1,) est égal au produit

{XiX!,){X2X3)

de deux transpositions, et inversement le produit de deux transpositions est égal à un produit de substitution circulaire de trois lettres. Il en résulte que le groupe F contient nécessairement le groupe alterné; si donc il ne coïncide pas avec le groupe alterné, il sera nécessairement le groupe symétrique.

Nous allons maintenant montrer que le gj'oupe alterné de n éléments est simple (/i^4) et que, par conséquent, la suite de composition du groupe symétrique G est

G, Gi, I,

Gi désignant le groupe alterné. J'indiquerai de ce théorème la démonstration suivante, qui m'a été communiquée par M. Simart.

SLBSTITLTIO.NS ET ÉQLATIONS ALGÉBRIQUES. 463

Supposons que le groupe alterné possède un sous-groupe invariant r. On peut mettre le Tableau des substitutions du groupe symétrique G sous la forme

Oj, 02, .... Ojx» •••> ^x>

TSi, TS,, ..., TSa, ..., TS^.

La première ligne représente le groupe alterné G, et T désigne une substitution arbitraire de G n'appartenant pas à G,, par exemple la transposition (^,^2)-

Soient S|, S2, ..., Sfi, l'ensemble des substitutions formant dans G, le groupe invariant Y. Le groupe transformé de F par T, soit r', appartient à Gi et est un groupe invariant de G,. En effet, en désignant par S une substitution quelconque de G), on remarque d'abord que IT = Tl', puisque ST est une substitution de G n'appartenant pas à G,, et Ton en déduit

i:ts^t-ix-i = (zT)S^(:î:t)-' = ti'S^s'-»t-i= TSaT-i,

Sa, Sp désignant des substitutions du groupe F.

Supposons que ces deux groupes F et F^ aient des substitutions communes : elles forment un nouveau groupe F' invariant de Gi , dont la transformée par T est identique à F'^, car la transformée de F' est F, comme on le voit immédiatement. On en conclut que F^' est un invariant du groupe symétrique. Mais il résulte du théorème précédent que, pour /i > 4? le groupe G symétrique n'a pas d'autre invariant que le groupe alterné Gj. Donc les groupes F et F' n'ont, en dehors de la substitution un, aucune substitution commune. D'ailleurs, F et F' sont deux groupes invariants de Gj, permutables. Appliquant le lemme du §26, on pourra former avec ces deux groupes un groupe A d'ordre [jl^, invariant de G, , dont le terme général sera

et ce groupe A sera aussi un invariant du groupe symétrique G : on a, en efTet,

Par suilCj le groupe A doit, dans le cas général, coïncider avec le groupe alterné G|, ce qui entraînerait l'égalité u- = ,

qui est impossible, comme on le voit facilement en s'appuyant sur ce théorème : Qu'entre a et ia^- 9. il y au moins un nombre premier.

La proposition est donc établie.

La conclusion précédente ne s'applique pas à /? =4 5 le groupe symétrique G contient alors d'autres groupes invariants que le groupe alterné G, ; il nous suffira d'en indiquer un. Nous avoDS considéré (§ 7) le groupe F, d'ordre Jiuit, laissant invariable Ja fonction

et ce groupe F nous a conduit aux trois fonctions cp,, '^o, '-53 en posant

Cp.2 = Xi a"3 -h X.2 -T; .

O3 = Xi Xt, -h X-i X-^ .

D'après ce que nous avons vu (§ 22), le groupe H, laissant invariables cp,, cpo, cp^, sera un groupe invariant dans G. Or, ce groupe H contient d'autres substitutions que la substitution un\ il est formé des quatre substitutions

Si = I, 8,= (^ia72)(a73a'-4), 83 = (371^3) (37.2 ^4), S.v = ( ^1 ^4 ) ( ^2 -3^3 )>

qui laissent toutes quatre invariables les fonctions cp. Le groupe H est aussi un sous-groupe invariant du groupe alterné G,, et si, enfin, nous considérons le groupe H' formé par les deux substitutions

Si =1, 2-2= (^1^2) (^33^4),

ce groupe est un sous-groupe de H, et il en est manifestement un sous-groupe invariant; car la transformée de So par une substitution de H, par exemple S^, est égal à So*

Il résulte de là que, si nous considérons la suite des groupes

G, Gi, II, ir, I,

chaque groupe est un sous-groupe invariant du précédent, et les ordres de ces groupes sont respectivement

Cette suite joue uq rôle important dans la résolution de Téquation du quatrième degré, comme nous le verrons au § 40.