VII. — Des équations résolubles algébriquement

38. Les généralités qui précèdent sur la réduction du groupe d'une équation sont, à la forme près, entièrement dues à Galois, en faisant seulement exception pour l'importante remarque qui découle des théorèmes de M. Jordan et de M. Holder. La plus

belle application qu'ait faite Galois de sa théorie est relative aux équations résolubles algébriquement. On dit qu'une équation est résoluble algébriquement ou par radicaux, quand on peut y satisfaire en substituant à x une expression formée au moyen des éléments appartenant au domaine de rationalité et des signes des opérations suivantes de l'Algèbre : addition, soustraction, mulliplication, division, élévation à une puissance entière, extraction de racines d'indice entier, ces opérations étant en nombre limité. Suivons toujours Galois. Pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe, jusqu'à le réduire à la seule substitution unité. Dans le cas d'une équation résoluble algébriquement, la réduction se fera par l'adjonction successive des racines d'équations binômes que l'on peut supposer de degré premier. Envisageons une telle équation

avec un certain domaine de rationalité, et soit alors G son groupe. Soit/> le plus petit nombre premier tel que l'adjonction des racines de l'équation

rP — A,

réduise le groupe de l'équation; A est supposé appartenir au domaine initial, auquel on a pu adjoindre des racines d'équations de la forme

r?. = Bi, ni = B,, . . . , rii = B,-, . . . , fTk = B),,

les q étant inférieurs à p, et B/ appartenant au domaine initial, auquel on a pu adjoindre les racines des équations correspondant aux indices i, 2, ..., l — 1 précédents.

On peut, par conséquent, supposer que, parmi les quantités précédemment adjointes, se trouve une racine p'"^^^ de l'unité, car cette expression s'obtient par des extractions de racines de degré inférieur à />, et son adjonction n'altérera pas le groupe de l'équation (^), d'après l'hypothèse faite sur p.

(') Nous nous appuyons ici sur cette proposition de Gauss : que la résolution de l'équation binôme xV — i=o{p premier) peut être effectuée à l'aide de radicaux dont l'indice est un diviseur de p — t.

L'équation//' ^= A va jouer le rôle de Téquation F du paragraphe précédent, et nous nous trouvons dans le cas particulier où les racines de F s'expriment rationnellement à l'aide de l'une d'elles. Donc l'adjonction des racines de notre équation binôme réduit

le groupe G d'ordre ni à un groupe G, d'ordre —, et ce groupe G, est un sous-groupe invariant de G.

Cet ordre ayant été abaissé une première fois par l'adjonction des racines d'une équation binôme, on peut raisonner sur le nouveau groupe comme sur le précédent ; une nouvelle réduction sera opérée par l'adjonction des racines d'une nouvelle équation binôme, et finalement on aura une succession de groupes

G, Gi, ..., I,

chaque groupe étant un sous-groupe invariant du groupe précédent, et le quotient des ordres de chaque groupe et du groupe suivant étant un nombre premier. .

Ce premier résultat suffit déjà à nous faire voir que l'équation générale de degré n (n > 4) n'est pas résoluble par radicaux. En efl^et, le groupe G est ici le groupe symétrique, qui ne renferme qu'un seul sous-groupe invariant, le groupe alterné Gj {voir § 29). La suite précédente ne pourra donc être que

Or G est d'ordre i .2, . . n et G, d'ordre ^ ' ^ ' " ^ ; le quotient

des ordres des deux premiers groupes est égal à deux, qui est bien un nombre premier, mais le quotient des ordres des deux

autres est ' ^" , qui n'est pas premier. Nous en concluons que

l'équation générale d'ordre n{n'> i) n'est pas résoluble algébriquement; c'est le théorème démontré pour la première fois, d'une manière rigoureuse, par Abel (*), qui se plaçait, bien entendu, à un tout autre point de vue que Galois.

39. Nous avons vu que, si une équation est résoluble algébri-

(*) Voir les Œuvres complètes d'Abel ; une autre démonstration du même théorème a été donnée par Wantzel.

qiiement, on aura une succession de groupes

G, Gi, . . ., G^., I,

chaque groupe étant un sous-groupe invariant du précédent, et le quotient des ordres de chaque groupe et du groupe suivant étant un nombre premier. Cette condition, nécessaire pour la résolabilité algébrique de Véquation, est aussi suffisante, comme nous allons l'établir.

Il suffira de montrer qu'on peut réduire le groupe de l'équation de G à G, par l'adjonction des racines d'une équation résoluble par radicaux. Soient ni l'ordre du groupe G et m, l'ordre de Gi,

le quotient — étant un nombre premier/). En désignant par cp,

une fonction des racines correspondant au groupe G^ nous formons l'équation désignée par

S(cp) = o

dans un paragraphe précédent, et sur laquelle nous nous sommes

longtemps arrêté. Cette équation est de degré — ou /?, et l'ordre

de son groupe sera (§ 34) égal aussi à /?, puisqu'ici le groupe H est égal à G], ce dernier étant un sous-groupe invariant de G. Uéquation S est donc une équation irréductible de degré premier, et l'ordre de son groupe est égal à son degré; or nous avons vu, à la fin du § 31, qu'une équation satisfaisant à ces conditions est résoluble par radicaux. D'autre part, l'adjonction des racines de S ramène le groupe de l'équation proposée de G à G) ; par suite, cette réduction peut se faire par l'adjonction de radicaux, et, en continuant ainsi de proche en proche, on voit que le groupe de l'équation peut être réduit à l'unité et l'équation, par suite, résolue en adjoignant successivement des radicaux, ce qui démontre la proposition énoncée.

40. Nous pouvons vérifier, à l'aide du théorème précédent, que les équations du troisième et du quatrième degré sont résolubles par radicaux. Pour le cas du troisième degré, la suite

G, Gi, i,

G étant le groupe symétrique et G, le groupe alterné, est telle que

chaque groupe est un sous-groupe invariant du précédent, et l'ordre de G étant six et celui de G, trois, les quotients des ordres des groupes sont des nombres premiers.

Pour le quatrième degré, prenons la suite