G, G,, H, II', I

que nous avons considérée au § 29 ; les ordres de ces groupes étant

respectivement

les quotients de chaque nombre par le suivant sont des nombres premiers, et l'équation est bien résoluble algébriquement.

41. Les applications du théorème général relatif à la condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation soit résoluble algébriquement sont particulièrement simples dans le cas où l équation est de degré premier.

Nous terminerons ce Chapitre par l'étude de ce cas, qui a été approfondi par Galois, et nous renverrons, pour les équations de degré composé, aux Mémoires de M. Jordan et de Rronecker.

Commençons par un lemme préliminaire. Soit

une équation irréductible de degré premier /?. Je suppose qu'elle devienne réductible par l'adjonction des racines d'une équation irréductible de degré premier p

telle que ses racines s'expriment rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles. En raisonnant sur l'équation f{x)^ comme nous avons raisonné au § 36 sur l'équation '^(V), on montrera que les

p racines de l'équation F se partagent en - groupes de q racines

correspondant à une même valeur d'une certaine fonction rationnelle 9(7') des racines. Puisque/? est premier, on devra avoir </ = i , et par suite, en désignant par

482 CHAPITRE XYI.

le facteur irréductible correspondant à l'adjonction de /•, on aura

Les facteurs du premier membre sont distincts et du même degré. Donc, puisque le degré n àe f(x) est supposé premier, le polynôme y^{oc^ r) est nécessairement du premier degré, et l'on a

De plus, V équation se trouve résolue par L^ adjonction des racines de F. Ainsi, une équation irréductible de degré premier reste irréductible tant que les adjonctions ne réduisent pas son groupe à l'unité. Avant l'adjonction des racines de F, qui va résoudre l'équation, son groupe est d'un ordre v qu'il est facile de trouver. D'après le § 37 , cette adjonction réduit le groupe à

l'ordre — et, puisque ce groupe est l'unité, on a

Nous pouvons donc dire qu'avant la dernière adjonction, l'équation/*( .2:) a son ordre égal à son degré et, par suite, puisque n est premier, son groupe est formé des puissances d'une substitution circulaire (§ 31).

Appliquons ceci à la réduction du groupe d'une équation f{x) = o de degré premier /i, résoluble algébriquement. Après des adjonctions successives de radicaux, nous arriverons à Tavantdernier groupe G^ (§ 39). Il résulte du lemme précédent que l'équation reste irréductible tant qu'elle n'est pas résolue, et nous pouvons appliquer la conclusion précédente : le groupe G^ est d'ordre n et est formé des puissances d'une substitution circulaire de n lettres. Or, le groupe initial G contient évidemment G^ comme sous-groupe. Le groupe initial relatif aux n racines de notre équation contient donc une substitution circulaire d'ordre n.

42. Nous allons rechercher les groupes relatifs à n lettres (/? étant toujours premier) jouissant de la propriété précédente. Mais il nous faut auparavant dire un mot de la représentation analytique des substitutions.

Désignons par

n lettres. Si l'on a un polynôme /(c) à coefficients entiers, et que pour :; =iz o, I , . . . , /i — i ce polynôme prenne n valeurs non congrues suivant le module /z, c'est-à-dire Ji valeurs telles que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soit pas multiple de /i, on pourra considérer la substitution

comme définissant une substitution des n lettres, en convenant que

est remplacé par

l'indice /(:;) étant pris suivant le module n, c'est-à-dire étant remplacé par le reste que donne sa division par /?. Toute substitution

/ ^a, ^b, ..., OCfc \

peut être obtenue de cette manière ; il suffît de poser

en désio^nant, d'une manière erénérale, par

le quotient de la division de z'^ — z par z — a. On voit facilement que

f{%) = h (inod./i).

On a, en effet,

z'' — z = (z — oi)'b{z)-{-oL" —a et, par suite,

Soit j3 ^ a, on aura

484 CHAPITUK XVI.

Or, d'après le théorème de Fermât, a" — a et jii" — ^ sont multiples de n ; donc '^ C^) sera multiple de n. Par suite, dans/(5), tous les termes, sauf celui qui renferme z — a en dénominateur, seront multiples de n pour z = a. Il reste à trouver la valeur de

— h pour c := a. Or, on a

donc

et la congruence /(a) ^ A(mod. //) en résulte immédiatement.

On doit à M. Hermite d'importants théorèmes sur la représentation analytique des substitutions (Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LVII, ei Annales de Tortolini). Nous y renverrons le lecteur, n'ayant ici besoin que de la notion précédente pour trouver, avec Galois, la forme de la fonction /"(s) correspondant à une substitution appartenant au groupe d'une équation résolul^le.

43. Nous avons dit que toutes les substitutions du groupe G.ç sont les puissances d'une substitution circulaire et, par conséquent, de la forme

soit donc S une telle substitution , [^ étant un des nombres I, 2, . . . , /i — I. Si maintenant T désigne l'une quelconque des substitutions du groupe G^j précédant immédiatement G^, la substitution

appartient encore à G^. A la substitution T correspond une certaine fonction /(^), telle que nous pouvons écrire

et 1 on a de même

Exprimons que

SUBSTITLTIO-NS ET ÉQIATIOXS ALGÉBRIQUES. 4^5

Or

Tv = [/(3 4-?), .^] et v'T = [/(.-) + «,.-].

On aura, par conséquent, la congruence suivant le module n

a ne dépendant pas de z\ en changeant successivement ;: en

:? + 3, ^ 4- 2 ^3, . . . , ^ + ). ,3, on a

Si nous prenons |j =^ i et que nous posions ^ = o, /(o) = Z>, on aura

Ainsi la fonction /(s) est une fonction linéaire az-\-b. Le groupe Qs-{ ne peut donc renfermer que des substitutions de la forme

et a sera différent de l'unité, si la substitution T n'appartient pas au groupe G^. Le groupe G^, contient des substitutions d'ordre /?, à savoir les substitutions de G^; il est aisé de voir qu'il ne contient pas d'autres substitutions d'ordre n^ ce qui revient à dire que la substitution ci-dessus est d'ordre inférieur à n quand a est différent de un ou n'est pas congru à un (mod. n). En effet, la puissance h de cette substitution est obtenue en remplaçant z par

a'^z -^ b{ rt^'-i -^ rt/'-2 ^ . . . |- , ) .

On aura Tordre de la substitution en prenant le plus petit entier h^ tel que

Cl'' = I (mod. «),

^(«^'-^ +•..+ !) = o (mod./i),

a étant différent de un; la seconde condition sera vérifiée quand la première le sera, et ceci arrivera pour h =z n — i ou un de ses diviseurs.

Cherchons maintenant la nature des substitutions du groupe G^2. Il est clair que G^ est un sous-groupe de G^2; montrons qu'il en est un sous-groupe invariant. Si T' désigne une substitution de (Js-2^ et I une substitution de G,, et par suite de G^__,, la

486 CHAPITIIE XVI.

transformée de S par T' appartiendra à Gj,, puisque G^i est invariant dans G^2. Mais, S étant d'ordre /z, sa transformée par T' est aussi d'ordre n et elle appartient par suite à G^, ce qui montre bien que G^ est invariant dans G^2- Par suite, les substitutions de G^2 sont de même forme que celles de G^, , et l'on continuera ainsi de suite jusqu'à G. INoiis avons donc le théorème suivant, dû à Galois :

Quand une équation irréductible de de ^ré premier est résoluble algébriquement, toutes les substitutions de son groupe

sont de la forme

(az-^b, z).

44, La réciproque du théorème précédent est exacte, c'està-dire que, si le groupe d^ une équation \irréductible de degré premier ne renferme, en dehors des substitutions du système circulaire (z, ^ -1- t), que des substitutions de la forme

(az + b, z),

V équation est résoluble algébriquement.

Remarquons d'abord que toute substitution du groupe précédent sera le produit d'une puissance de la substitution

par une puissance d'une substitution

(S') {rz,z).

Si /• est une racine primitive pour le nombre premier n, c'està-dire si les puissances

sont congrues dans un ordre quelconque à

le groupe formé à l'aide des substitutions (i]) et (S') combinées entre elles de toutes les manières possibles sera formé des

n[n — [) suljstitutions

{az-\- b, z),

OÙ l'on donne à a les valeurs i , 2, . . . , /i — i et à ^ les valeurs o, i, 2, ..., /i — I.

Si /* n'est pas une racine primitive pour le nombre /?, les puissances de /' écrites ci-dessus ne représenteront pas les n — i premiers nombres, mais seulement un nombre d de nombres congrus différents, suivant le module /i, et le groupe sera seulement alors d'ordre nd.

Pour plus de simplicité, nous allons supposer que le groupe G de l'équation soit le groupe d'ordre iii^n — i), c'est-à-dire que /* est racine primitive; mais un raisonnement analogue s'appliquera aux autres cas. Désignons par a une racine de l'équation

iF«— I

et formons les expressions

X/i i = [jTo -r- aj-/.'— î-f- -x-x-i

Les quantités X se permutent évidemment circulairement quand on fait la substitution -'. On peut, d'autre part, les écrire sous une autre forme; prenons par exemple Xjx+j,

Xj;.+ 1 = [j-o 4- CCX,.-,'-— X-X.yr:'--r-. • .-h x'^Xu,-:^ -r- . . .-{- X'^'^ X^n-i), ■:'■]"'

Si l'on pose

/i/'H- = k ( mod. /i), o < A" ^ /i — I ,

on aura

/iz-'J- = A-r«-», d'où h = Âv^-'-l^.

Nous pourrons alors écrire

Xa-i = (Xo H- . . .4- Oi^'-"~'-^Xr-h.. . )«.

Or, a'""'"'* représente une certaine racine ,3 de l'équation x'^ =: 1 , et, par suite, Xjj^^, a la forme

Xj;.+ 1 = {Xo -{-'^Xl-^...-h ?^-J-/, ^-. . . )«.

Après cette transformation, il est facile de voir que les fonctions X ne changent pas par la substitution ^, c'est-à-dire quand P. — III. 33

488 CHAPITRE xvr.

on fait sur les ^ une substitution circulaire

Ainsi les fonctions

Xj[, Ag, X3, ..., A„i

sont invariables par la substitution de 2, et elles sont déplacées circulairement par la substitution S'.

Les fonctions X sont les n — i valeurs que prend une fonction rationnelle des racines, pour les substitutions du groupe G; elles satisfont donc à une équation d'ordre n — i dont les coefficients sont rationnels dans le domaine primitif. Les racines ji^''"^^^ de l'unité ne figurent pas dans ces coefficients, puisque toute fonction symétrique des X est symétrique par rapport auK n — i racines de

Soit

F(X)=zo

cette équation; son groupe est formé des n — i puissances de la substitution circulaire effectuée sur les X. Une telle équation esl résoluble par radicaux, car si nous désignons par

Xj, X2, .... X/i i les racines de F, l'expression

(Xi 4- IX, +. . .+ À«-2x,,o«-S

où )^ désigne une racine n — i'""'' de l'unité, restant invariable par les substitutions du groupe, s'exprime rationnellement à l'aide de ). qu'on doit supposer adjoint. En donnant à X ses n — i valeurs, on aura donc les X pour radicaux, et enfin

s'exprimera par suite aussi au moyen de radicaux. En donnant à a ses n — i valeurs et en prenant la somme des racines, on aura Il équations donnant Xq, x^^ ..., Xn-\ exprimés algébriquement; c'est le théorème que nous voulions établir.

45. Dans les deux paragraphes précédents, nous avons trouvé la condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation irré-

duclible de degré premier soit résoluble par radicaux, à savoir que le groupe de l'équation ne doit contenir que des substitutions

de la forme

{az-^b, z).

Galois a encore donné une autre forme à cette condition; nous terminerons ce Chapitre en montrant que la condition nécessaire et suffisante est que les racines soient toutes exprimables en fonction rationnelle de deux quelconques d^ entre elles.

D'abord la condition est nécessaire, car, si l'équation est résoluble par radicaux, toutes les substitutions de son groupe sont de la forme ci-dessus. Or une telle substitution, qui ne se réduit pas à l'unité, déplace les n indices si a = i, et elle déplace n — i indices si a est différent de un. Il résulte de là que, si l'on adjoint deux racines x^ et x^^ le groupe [de l'équation ne contiendra plus que la substitution unité, car x-x et xq, devant rester invariables par les substitutions du groupe, celles-ci ne peuvent déplacer jr^ et ^^. Donc toutes les racines sont fonctions rationnelles de x^ et x^.

Passons à la réciproque (*). Nous supposons que toutes les racines d'une équation irréductible de degré premier s'expriment rationnellement à l'aide de deux quelconques d'entre elles j il faut montrer que l'équation est résoluble par radicaux. Soit G le groupe de l'équation et jjl son ordre; quand on adjoint une racine Xy de l'équation elle-même, le groupe G se réduit à un groupe F^ dont

l'ordre est - (§ 36). A chaque racine x^ correspond un groupe T^j,

et, d'après les théorèmes généraux étudiés précédemment, les substitutions du groupe G se décomposent en un Tableau de n lignes dont la première sera, si l'on veut, le groupe Fq, et les autres lignes seront les produits des substitutions de Fo par des

substitutions

Ti, T,, ..., T„,.

Les groupes Fji sont les transformées de Fo par les subslilulions

(•) La démonstration de cette réciproque est seulement indiquée très succinctement dans le Mémoire de Galois; nous suivons ici le commentaire qu'en donne M. Serret dans son Algèbre supérieure. On trouvera aussi dans cet Ouvrage une analyse de M. Hermite donnant une démonstration dii-ecte du même théorème.

précédentes; on doit remarquer que deux groupes F n'ont d'autre substitution commune que la substitution unité, car autrement il y aurait une substitution laissant deux racines invariables. Après avoir adjoint x^ et réduit le groupe à F^, adjoignons maintenant x^^ c'est-à-dire une racine de

ou d'un diviseur rationnel de ce quotient, s'il n'est pas irréductible. Le groupe F^ de l'équation deviendra un nouveau groupe dont l'ordre est égal au quotient de l'ordre de T^ par un diviseur du degré de l'équation précédente. L'ordre du groupe après l'adjonction de Xrj, et de x<^ sera donc

n.in

et, puisque l'équation est résolue, on a

Évaluons le nombre des substitutions de G qui déplacent tous

les indices. En ne comptant pas la substitution unité, les groupes

F renferment

substitutions^ le nombre des substitutions qui ne déplacent pas toutes les lettres n est donc

11 y a donc dans G

mil — {m — \)n — i ou n — i

substitutions qui déplacent tous les indices ^ nous allons voir aisément que ces n — i substitutions sont circulaires et puissances les unes des autres. Soit T une telle substitution; décomposons-la en cycles ; aucun de ces cycles ne sera formé d'une seule lettre, et ils ne contiendront pas tous le même nombre de lettres, puisque n est premier. Si la substitution ne se composait pas d'un seul cycle, il y aurait un cycle d'ordre minimum ô, et la substitution T^ laisserait 8 lettres en place (ô >> i) sans se réduire à la substitution unité; or, le groupe G de Féquation ne peut manifestement contenir une telle substitution, puisque par l'adjonction de o racines

SLBS TITUTIO.NS ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. ^gi

le groupe ne serait pas réduit à l'unité. Les n — i substitutions trouvées plus haut sont donc les n — i premières puissances d'une substitution circulaire.

Cela étant, distribuons les indices dans les racines de manière que les n — i substitutions de G, qui déplacent tous les indices, soient les puissances de la substitution circulaire

et soit S une substitution quelconque, que nous représentons par

La transformée de ï par S est encore une substitution circulaire et déplace, par suite, tous les indices; elle doit donc être une puissance de T

En écrivant que

STS-i = T' ou ST=:T'S,

on aura, en raisonnant comme au § 43,

a et [^ étant des entiers et, par suite , le groupe ne renfermant que des substitutions linéaires, Inéquation est résoluble par radicaux.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ces questions; le lecteur, désireux d'approfondir ces théories, pourra consulter le Traité de M. Jordan et les travaux de Kronecker. Une partie de ceux-ci sont très bien exposés dans le Livre de M. Vogt (voir, en particulier, le Chapitre XII). On lira aussi avec grand intérêt, dans l'Ouvrage de MM. Borel et Drach, le Chapitre VI, sur les groupes résolubles.

ANALOGIES ENTRE LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.